第十章 第7节_可编辑.docVIP

第PAGE页

第7节二项分布及其应用

必威体育精装版考纲了解n次独立重复试验的模型及二项分布.

知识梳理

1.事件的相互独立性

（1）定义：设A，B为两个事件，如果P（AB）＝P（A）P（B），则称事件A与事件B相互独立.

（2）性质：若事件A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立，P（B|A）＝P（B），P（A|B）＝P（A）.

2.独立重复试验与二项分布

（1）独立重复试验

在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，其中Ai（i＝1，2，…，n）是第i次试验结果，则

P（A1A2A3…An）＝P（A1）P（A2）P（A3）…P（An）.

（2）二项分布

在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P（X＝k）＝Ceq\o\al(k,n)pk（1－p）n－k（k＝0，1，2，…，n），此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并称p为成功概率.

[常用结论与微点提醒]

1.相互独立事件与互斥事件的区别

相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算公式为P（AB）＝P（A）P（B）.互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P（A∪B）＝P（A）＋P（B）.

2.（1）判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次.

（2）二项分布与超几何分布的联系与区别.有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体数量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理.

诊断自测

1.思考辨析（在括号内打“√”或“×”）

（1）若事件A，B相互独立，则P（B|A）＝P（B）.（）

（2）P（AB）表示事件A，B同时发生的概率，一定有P（AB）＝P（A）·P（B）.（）

（3）二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P（X＝k）＝Ceq\o\al(k,n)pk（1－p）n－k，k＝0，1，2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布.（）

解析对于（2），若A，B独立，则P（AB）＝P（A）·P（B），若A，B不独立，则P（AB）＝P（A）·P（B|A），故（2）不正确.

答案（1）√（2）×（3）√

2.设随机变量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，则P（X＝3）等于（）

A.eq\f(5,16) B.eq\f(3,16) C.eq\f(5,8) D.eq\f(3,8)

解析X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，由二项分布可得，

P（X＝3）＝Ceq\o\al(3,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(5,16).

答案A

3.两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为eq\f(2,3)和eq\f(3,4)，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）

A.eq\f(1,2) B.eq\f(5,12) C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,6)

解析设事件A：甲实习生加工的零件为一等品；事件B：乙实习生加工的零件为一等品，且A，B相互独立，则P（A）＝eq\f(2,3)，P（B）＝eq\f(3,4)，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P（Aeq\o(B,\s\up6(－))）＋P（eq\o(A,\s\up6(－))B）＝P（A）P（eq\o(B,\s\up6(－))）＋P（eq\o(A,\s\up6(－))）P（B）＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(3,4)＝eq\f(5,12).

答案B

4.连续掷一个质地均匀的骰子3次，各次互不影响，则恰好有一次出现1点的概率为.

解析掷一次骰子出现1点的概率为P＝eq\f(1,6)，所以所求概率为P＝Ceq\o\al(1,3)·eq\f(1,6)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))eq\s\up12(2)＝eq\f(25,72).

答案eq\f(25,72)

5.（2019·嘉兴测试）天气预报，端午节假