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试卷第=page11页,共=sectionpages33页
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湖南省长沙市望城区第六中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.已知函数是上奇函数,则(????)
A.4 B.3
C.2 D.1
2.我们的数学课本《人教A版必修第一册》第121页的《阅读与思考》中介绍:“一般地,如果某物质的半衰期为h,那么经过时间t后,该物质所剩的质量,其中是该物质的初始质量.”现测得某放射性元素的半衰期为1350年(每经过1350年,该元素的存量为原来的一半),某生物标本中该放射性元素的初始存量为m,经检测现在的存量为.据此推测该生物距今约为(????)(参考数据:)
A.2452年 B.2750年 C.3150年 D.3856年
3.设为二次函数的图象与其反函数的图象的一个交点,则(????)
A. B. C. D.
4.已知向量,,若,则(???)
A. B.4 C. D.20
5.“”是“方程表示双曲线”的(????)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
6.如图,在三棱锥的平面展开图中,四边形是菱形,,则三棱锥外接球的表面积为(????)
A. B. C. D.
7.有四根长都为2的直铁条,若再选两根长都为a的直铁条,使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架,则a的取值范围是
A.(0,) B.(1,)
C.(,) D.(0,)
8.如图,四边形中,,若,且,则面积的最大值为(????)
??
A. B. C. D.
二、多选题
9.已知函数,则下列叙述中,正确的是(????)
A.函数的图象关于点对称 B.函数在上单调递增
C.函数的图象关于直线对称 D.函数是偶函数
10.如图,正方体中,,是线段上的两个动点,则下列结论正确的是(????)
A.,始终在同一个平面内
B.平面
C.
D.若正方体的棱长和线段的长均为定值,则三棱锥的体积为定值
11.如图,在菱形中,,,将沿对角线翻折到位置,连结,则在翻折过程中,下列说法不正确的是(????)
A.存在某个位置,使得
B.当二面角的大小为时,
C.与平面所成的最大角为
D.存在某个位置,使得到平面的距离为
三、填空题
12.已知向量,夹角为45°,且,,则.
13.已知符号表示不超过x的最大整数,若函数(),给出下列四个结论:①当时,;②为偶函数;③在单调递减;④若方程有且仅有3个根,则a的取值范围是.其中所有正确结论的序号是.
14.已知单位向量,与非零向量满足,,则的最大值是.
四、解答题
15.(1)已知,求的值;
(2)已知,求的值.
(3)已知,化简;
(4)已知,,求的值.
16.已知分别为三个内角的对边,且.
(1)求;
(2)若点满足,且,求的面积的最大值;
(3)若,求证:是直角三角形.
17.为了让羽毛球运动在世界范围内更好的发展,世界羽联将每年的7月5日定为“世界羽毛球日”.在今年的“世界羽毛球日”里,某主办方打算一办有关羽毛球的知识竞答比赛.比赛规则如下;比赛一共进行4轮,每轮回答1道题.第1轮奖金为100元,第2轮奖金为200元,第3轮奖金为300元,第4轮奖金为400元.每一轮答对则可以拿走该轮奖金,答错则失去该轮奖金,奖金采用累计制,即参赛者最高可以拿到1000元奖金.若累计答错2题,则比赛结束且参赛者奖金清零.此外,参赛者在每一轮结束后都可主动选择停止作答?结束比赛并拿走已累计获得的所有奖金,小陈同学去参加比赛,每一轮答对题目的概率都是,并且小陈同学在没有损失奖金风险时会一直选择继续作答,在有损失奖金风险时选择继续作答的可能性为.
(1)求小陈同学前3轮比赛答对至少2题的概率;
(2)求小陈同学用参加比赛获得的奖金能够购买一只价值499元的羽毛球拍的概率.
18.淮安有轨电车是服务于淮安市的城市轨道交通,一期工程于2014年2月19日开工建设,2015年12月28日正式通车,是全国第七座、江苏第三座开通有轨电车的城市.淮安有轨电车一期工程线路西起市体育馆,沿交通路至大运河广场北侧,经和平路至水渡口广场,向南沿翔宇大道、楚州大道至淮安区马甸连接线,全长20.07公里,共设车站23个.淮安有轨电车一期工程使用超级电容,利用停站时的30秒钟就可把电车上的电池充满,刹车时产生的80%的动能被回收并转化成电能,节能效果最好.正是采用超级电容供电,淮安有轨电车才会成为目前全球最长的无接触网现代有轨电车线路,且有轨电车的高效运行给市
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