气象学计算方法.pptx

误差的来源几个基本概念

误差估计数值稳定性/误差的传播与积累数值计算中的一些注意原则绝对误差、绝对误差限/误差限相对误差、相对误差限有效数字误差是人们用来描述数值计算中近似解的精确程度，是科学计算中的一个十分重要的概念1

2模型误差在建立数学模型过程中,要将复杂的现象抽象归结为数学模型,往往要忽略一些次要因素的影响,而对问题作一些简化,因此和实际问题有一定的区别。观测误差在建模和具体运算过程中所用的数据往往是通过观察和测量得到的,由于精度的限制,这些数据一般是近似的,即有误差。截断误差由于计算机只能完成有限次算术运算和逻辑运算,因此要将有些需用极限或无穷过程进行的运算有限化,对无穷过程进行截断,这就带来误差。误差的种类及来源舍入误差在数值计算过程中还会遇到无穷小数,因计算机受到机器字长的限制,它所能表示的数据只能有一定的有限位数,如按四舍五入规则取有限位数,由此引起的误差。

3如:若将前若干项的部分和作为函数值的近似公式，由于后来各项都舍弃了,与真实值产生了偏差Taylor展开省略部分称为截断误差

4用数值方法进行计算时产生的误差可分为两类﹕截断误差和舍入误差。截断误差来自数值方程的解和原微分方程的解之间的差别﹐截断误差愈小﹐表明这种方法的精度愈高。舍入误差来自计算过程中数字的舍入。两种误差在逐步计算过程中一般都会累积扩大﹐累积的规律是复杂的﹐至今尚未完全弄清楚。省略部分称为舍入误差

5定义1误差和误差限绝对误差限或误差限显然或且

6哪个更精确呢?定义2.绝对误差可能取正，也可能取负绝对误差越小越具有参考价值但绝对误差却不能很好地表示近似值的精确程度

7绝对误差限相对误差限往往未知代替相对误差代替相对误差限因此√

8例1.解:

9例2.解:可见,经四舍五入取近似值,其绝对误差限将不超过其末位数字的半个单位

10有4位有效数字有6位有效数字定义3.若近似值x*的误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字共有n位，就说x*有n位有效数字有8位有效数字只有4位有效数字有效数字注意：四舍五入的近似值的数字都是有效数字，而不是四舍五入得到的近似值的数字不一定是有效数字

11例3.实际上只有1个例4.写出下列各数的具有5位有效数字的近似值187.9325，0.0378555，8.000033187.93，0.037856，8.0000解.注：数字末尾的0不可以随意添加或省略！

12定理1.有效数字越多，相对误差限越小a1介于1～9的整数，a2,...,an介于0～9的整数。

13例5.解:由定理1，相对误差限满足即应取4位有效数字，近似值的误差限不超过0.1％要使的相对误差不超过0.1%，应至少取几位有效数字？

（1）用四舍五入法取准确值的前n位x*作为x的近似值，则x*必有n个有效数字。关于有效数字：14（2）有效数字位数相同的两个近似数，绝对误差不一定相同。如e=2.7182818284590…，取2.718作为e的近似值有4位有效数字，取2.718282作为e的近似值就有7位有效数字。如x1*=10706,x2*=11.104二者都有5位有效数字。前者绝对误差为限0.5×100，后者绝对误差限为0.5×10-3。

（3）把任何数乘以10p（p=0,±1,±2,…）等于移动该数的小数点，它并不影响其有效数字的位数。如g=9.80m/s2具有3位有效数字，而g=0.00980×103m/s2也有3位有效数字。但是0.1,0.10,0.100的有效数字是不一样。（4）有效数字越多，绝对误差越小，相对误差也越小。具有n位有效数字的近似数x*，其绝对误差限为ε=0.5×10m-n，在m相同情况下，n越大，绝对误差限ε越小，从而相对误差限也越小，所以近似值越精确。15

16两个近似数与，其误差限分别为及绝对误差限的四则运算：相对误差限的四则运算：数值运算的误差估计

例6.下列近似数的绝对误差限是最末位的半个单位，求x*1+x*2，x*1-x*2，x*1x*2，x*1/x*2的绝对误差限。x*1=6.1025，x*2=80.115解:17

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19例7.解:数值方法的稳定性与算法设计原则误差的传播与积累：原始数据的误差导致最终结果也有误差的过程称为误差的传播，经过大量的运算之后，积累的总误差有时会大得惊人，因此如何控制误差的传播也是数值方法的研究对象。近似计算，其中n=1,2,...,8易知公式精确成立

可得但显然有?????[0,1]区间上为小于1的正数考察第n步的误差即有20误差以5的倍数的速度增长!

改变算