级数练习题近年原文.doc

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对外经济贸易大学教务处2005期末考试试卷格式

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级数

判断题

1．正项级数发散，则其部分和数列趋于无穷大。（对）

2．若，则级数与同时收敛同时发散。（错）

3．若级数收敛，则级数一定收敛。（错）

4．若正项级数收敛，则必有（错）

（错）

（对）

（错）

二、选择题：

1．设幂级数在x=-1处条件收敛，则级数____A_____.

A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性不能确定

2．设级数条件收敛，那么级数____C____.

A.必定条件收敛B.必定绝对收敛

C.必定发散D.敛散性不能确定

4．设级数绝对收敛，则（D）.

A．发散B．条件收敛C．敛散性不能判定D．绝对收敛

6．设幂函数在x=2处收敛，则级数____A____

A绝对收敛B条件收敛C发散D收敛性不能确定

7．设级数收敛，则（C）

A．发散B．条件收敛C．绝对收敛D．敛散性不能判定

（）

三、填空题：

1.级数的收敛半径为___2___，收敛域为__[-1,3）__.

2．部分和数列有界是正项级数收敛的__充要_条件，是任意项级数收敛的__必要__条件。

3．级数的收敛收敛域为[-1，3]，则的收敛域为。

三、用级数的收敛的定义与性质判断级数的敛散性

例1．已知级数，且其第部分和，问级数是否收敛

解：

有

，

例2已知收敛，收敛，则（B）

A．为无穷大B．收敛C．发散D．敛散性不能确定

（设的部分和为，的部分和为，则）

例3．设级数收敛，则级数绝对收敛。

例4．若级数收敛，且，证明级数收敛。

四、正项级数敛散性的判断

1.正项级数敛散性判断的充要条件

2.正项级数敛散性判断法则：

如下列级数敛散性的判断

（1）

（2）

比较审敛法的极限形式

（1）设级数绝对收敛，则（）。

A．发散B．条件收敛C．敛散性不能判定D．绝对收敛

（2）级数的敛散性为。

（3）

（4）

（5）

比值审敛法，根值审敛法

例1

答：D

例2判断级数的敛散性

提示：根值审敛法

例3

提示：比值审敛法

五、交错级数敛散性的判断，任意项级数敛散性的判断

例1设级数（常数），则该级数（）

A．发散B．条件收敛C．绝对收敛D．敛散性与a的取值有关

答：C

例2．判别级数的敛散性。

例3

提示：时，级数绝对收敛，时条件收敛，时级数发散

练习

（1）

，

（2）

六幂级数的收敛半径收敛域

例1．已知处条件收敛,问该级数收敛半径是多少?

解:根据Abel定理可知,级数在收敛,

时发散.故收敛半径为

例2．若级数在收敛，则实数的范围是.

例3．设有级数与，若，，则幂级数

的收敛半径为（）A

A.5B.C.D.

例4求幂级数的收敛半径与收敛域。

例5求幂级数的收敛域。

七、求幂级数的和函数

例1.写出幂级数的收敛半径及其和函数

解：令，则，故的收敛半径为R＝1；

又在收敛区间的端点处发散，所以它的收敛域是（－1，1）。

令，则

例2.求幂级数的收敛区间，并求和函数。

解：可以求得幂级数的收敛区间是。

设

.

于是，。

例3.求级数。

解：收敛域为。当时，

。

例4.求级数的和函数

解：（）

即得

显然x=0时,和为0;x=±1时,