人教版初中数学同步讲义九年级上册专题提升 圆的切线的判定与性质（30题）（解析版）.pdfVIP

专题第01讲圆的切线的判定与性质

1．（2023•灌云县校级模拟）如图，点P是⊙O外一点，PA与⊙O相切于A点，B，C是⊙O上的另外两点，

连接AC，BC，∠APB+2∠ACB＝180°，

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）若BC∥PA，⊙O的半径为5，BC＝6，求PA的长．

【分析】（1）连接OA，OB，由圆周角定理和已知条件∠APB+∠AOB＝180°，得出∠OAP+∠OBP＝180°，

求出∠OBP＝90°，即可得出结论；

（2）延长AO并延长交BC于D，连接OC，过P作PQ⊥BC于Q，由垂径定理得出CD＝BD＝3，由勾

股定理得出OD＝2，AD＝9在Rt△PBQ中，设PA＝x，由勾股定理得出方程，解方程即可

【解答】（1）证明：连接OA，OB，如图1所示：

∵∠APB+2∠ACB＝180°，∠AOB＝2∠ACB，

∴∠APB+∠AOB＝180°，

∴∠OAP+∠OBP＝180°，

∵PA切⊙O于点A，

∴PA⊥OA，

∴∠OAP＝90°，

∴∠OBP＝90°，

∵OB是半径，

∴PB是⊙O的切线；

（2）解：延长AO并延长交BC于D，连接OC，过P作PQ⊥BC于Q，如图2所示：

∵PA⊥OA，BC∥PA，

∴AD⊥BC，

∴，四边形ADQP是矩形，

∴，

∴AD＝OA+OD＝5+4＝9，

∵PA、PB是⊙O的切线，

∴PA＝PB，

在Rt△PBQ中，设PB＝PA＝x，则BQ＝x﹣3，

222

由勾股定理得：（x﹣3）+9＝x，

解得：x＝15，

即PA的长为15．

2．（2023•汉川市校级模拟）如图，AB，AD是⊙O的弦，AO平分∠BAD．过点B作⊙O的切线交AO的延

长线于点C，连接CD．BO延长BO交⊙O于点E，交AD于点F，连接AE，DE．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若AE＝DE＝10，求AF的长．

【分析】（1）欲证明CD是⊙O的切线，只要证明∠CDO＝∠CBO＝90°，由△COB≌△COD即可解决

问题．

（2）先证明∠BAO＝∠OAD＝∠DAE＝∠ABO＝30，在Rt△AEF中利用30度性质以及勾股定理即可解

决问题．

【解答】（1）证明：如图，连接OD．

∵BC为圆O的切线

∴∠CBO＝90°．

∵AO平分∠BAD，

∴∠OAB＝∠OAF．

∵OA＝OB＝OD，

∴∠OAB＝∠ABO＝∠OAF＝∠ODA，

∵∠BOC＝∠OAB+∠OBA，∠DOC＝∠OAD+∠ODA，

∴∠BOC＝∠DOC，

在△COB和△COD中，

，

∴BOC≌△DOC，

∴∠CBO＝∠CDO＝90°，

∴CD是⊙O的切线；

（2）∵AE＝DE，

∴＝，

∴∠DAE＝∠ABO，

∴∠BAO＝∠OAD＝∠ABO

∴∠BAO＝∠OAD＝∠DAE，

∵BE是直径，

∴∠BAE＝90°，

∴∠BAO＝∠OAD＝∠DAE＝∠ABO＝30°，

∴∠AFE＝90°，

在Rt△AFE中，

∵AE＝10，∠DAE＝30°，

∴EF＝AE＝5，

∴AF＝＝＝5．

3．（2023•金东区一模）如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB于E，F为BA延长线上一点，CA

恰好平分∠FCE．

（1）求证：FC与⊙O相切；

（2）连接OD，若OD∥AC，求的值．

【分析】（1）连接OC，则∠OCA＝∠OAC，由CD⊥AB于E，得∠AEC＝90°，而∠ACF＝∠ACE，则

∠OCF＝∠OCA+∠ACF＝∠OAC+∠ACE＝90°，即可证明FC与⊙O相切；

（2）由等腰三角形的“三线合一”得∠COF＝∠DOF，由OD∥AC，得∠DOF＝∠OAC，所以∠COF

＝∠OAC＝∠OCA＝60°，则∠F＝30°，所以OA＝OC＝OF，则AF＝OA＝AB，即可求得＝．

【解答】（1）证明：连接OC、则OC＝OA，

∴∠OCA＝∠OAC，