第2章§2　排序不等式.docVIP

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§2排序不等式

1．了解排序不等式，理解排序不等式的实质．(重点)

2．能用排序不等式证明简单的问题．(难点)

[基础·初探]

教材整理1顺序和、乱序和、逆序和的概念

阅读教材P32～P34“练习”以上部分，完成下列问题．

设实数a1，a2，a3，b1，b2，b3满足a1≥a2≥a3，b1≥b2≥b3，j1，j2，j3是1,2,3的任一排列方式．

通常称a1b1＋a2b2＋a3b3为顺序和，a1bj1＋a2bj2＋a3bj3为乱序和，a1b3＋a2b2＋a3b1为逆序和(倒序和)．

填空：

若m≥n≥p≥q，a≥b≥c≥d，则

(1)am＋bn＋cp＋dq是________和，

(2)an＋bq＋ca＋dp是________和，

(3)aq＋bp＋cn＋dm是________和，

(4)aq＋bm＋cq＋dn是________和．

【答案】(1)顺序(2)乱序(3)逆序(4)乱序

教材整理2排序不等式

阅读教材P32～P34“练习”以上部分，完成下列问题．

1．定理1

设a，b和c，d都是实数，如果a≥b，c≥d，那么ac＋bd≥ad＋bc，当且仅当a＝b(或c＝d)时取“＝”号．

2．定理2(排序不等式)

设有两个有序实数组a1≥a2≥…≥an及b1≥b2≥…≥bn，则(顺序和)a1b1＋a2b2＋…＋anbn≥(乱序和)a1bj1＋a2bj2＋…＋anbjn≥(逆序和)a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1.

其中j1，j2，…，jn是1,2，…，n的任一排列方式．上式当且仅当a1＝a2＝…＝an(或b1＝b2＝…＝bn)时取“＝”号．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若a1≥a2≥a3，b1≥b2≥b3，则a1bj1＋a2bj2＋a3bj3中最大值是a1b1＋a2b2＋a3b3(其中j1，j2，j3是1,2,3的任一排列)．()

(2)若a≥b，c≥d，则ac＋bd≥ad＋bc.()

【答案】(1)√(2)√

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

解惑：

疑问2：

解惑：

疑问3：

解惑：

[小组合作型]

利用排序不等式证明不等式中所给字母的大小顺序已确定的情况

已知a，b，c为正数，a≥b≥c，求证：

(1)eq\f(1,bc)≥eq\f(1,ca)≥eq\f(1,ab)；

(2)eq\f(a5,b3c3)＋eq\f(b5,c3a3)＋eq\f(c5,c3b3)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c).

【精彩点拨】本题考查排序不等式及不等式的性质、证明不等式等基本知识，考查推理论证能力．解答此题只需根据a≥b≥c，直接构造两个数组，利用排序不等式证明即可．

【自主解答】(1)∵a≥b0，于是eq\f(1,a)≤eq\f(1,b)，又c0，∴eq\f(1,c)0，从而eq\f(1,bc)≥eq\f(1,ca).

同理，∵b≥c0，于是eq\f(1,b)≤eq\f(1,c).

∵a0，∴eq\f(1,a)0，于是得eq\f(1,ca)≥eq\f(1,ab).从而eq\f(1,bc)≥eq\f(1,ca)≥eq\f(1,ab).

(2)由(1)知eq\f(1,bc)≥eq\f(1,ca)≥eq\f(1,ab)，于是由“顺序和≥乱序和”得，eq\f(a5,b3c3)＋eq\f(b5,c3a3)＋eq\f(c5,a3b3)≥eq\f(b5,b3c3)＋eq\f(c5,c3a3)＋eq\f(a5,a3b3)

＝eq\f(b2,c3)＋eq\f(c2,a3)＋eq\f(a2,b3)(∵a2≥b2≥c2，eq\f(1,c3)≥eq\f(1,b3)≥eq\f(1,a3))≥eq\f(c2,c3)＋eq\f(a2,a3)＋eq\f(b2,b3)＝eq\f(1,c)＋eq