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定比点差法专题

专题定比点差法

在处理解析几何“中点弦”问题时，我们常用的方法是“点差法”，该法模式化强，计算量小，学生易

于掌握，其实在面临“非中点弦”问题时，我们依然可以使用“点差法”，只是在处理非中点问题时，需要

根据线段所分得的比值做代数处理，一般把这种方法叫做“定比点差法”，定比点差法是一种利用特殊

的代数结构进行处理双动点都在曲线上的方法.相比于传统的点差法，定比点差在处理三点共线、相

交弦、定点定值、比例问题、调和点列等问题均具有优势．在讲定比点差法前，我们先引出定比分点的

概念．

知识点一：定比分点



若AP=λPB,则称点P为点A,B的λ定比分点.若λ0,点P在线段AB上,此时称点P为内分



点;若λ0,点P在线段AB的延长线上,此时称点P为外分点.不管是内分点还是外分点,满足AP

x+λxy+λy

=λPB,设Ax,y,Bx,y,则点P的坐标为P12,12

11221+λ1+λ

AP

①点在线段AB上λ=∈0,1

PB

AP

②点在线段AB的延长线上λ=∈-∞,-1

PB

AP

③点在线段AB的反向延长线上λ=∈-1,0

PB

补充定义：当λ=-1时，对应的定比分点可以认为是无穷远点.

知识点二：定比点差法性质

【性质1】：线段定比分点向量公式及坐标公式

OA+λOBx+λxy+λy

1212

已知AP=λPB，设Ax,y,Bx,y，则OP=,P,．

11221+λ1+λ1+λ

【证明】：证法一：设Px,y，

00



OA+λOBx+λxy+λy

∵AP=λPB,∴OP-OA=λOB-OP,∴OP=,∴P12,12.

1+λ1+λ1+λ



证法二：设Px,y，则AP=x-x,y-y,λBP=λx-x,y-y，