天津市南开中学2023-2024学年高一下学期第一次学情调查数学试题.docxVIP

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天津市南开中学2023-2024学年高一下学期第一次学情调查数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．化简等于（????）

A． B． C． D．

2．已知向量，，，若，则（????）

A． B． C．3 D．0

3．已知复数z满足，则复数z的虚部为

A． B． C． D．

4．在中，，则在方向上的投影向量是（????）

A． B． C． D．

5．已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图为扇形，扇形圆心角为，则圆锥的表面积为（???）

A．π B．2π C．3π D．4π

6．若、、为三条不同的直线，、为两个不重合的平面，则下列命题正确的是（）

A．如果，，则

B．如果，，，，则

C．如果，，则

D．如果，，，则

7．如图，测量河对岸的塔高时可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与，测得，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高等于（????）

A． B． C． D．

8．如图，在长方体中，已知为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

9．在ΔABC中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为

A． B． C． D．

10．在梯形中，，动点和分别在线段和上，且，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

二、填空题

11．设是虚数单位，，则．

12．在中，角的对边分别为，则．

13．在中，角的对边分别为，且的面积为，，则．

14．为庆祝我校建校120周年，数学学科以“南开”首字母“”为灵感设计了一款纪念胸章，如图所示，，则．

15．如图中，，在三角形内挖去一个半圆（圆心在边上，半圆与分别相切于点，交于点），则图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积为．

16．在锐角中，角的对边分别为，若，且满足，则的取值范围为．

三、解答题

17．在中，角的对边分别为，若，其中，

(1)求角的大小；

(2)若的面积为．

①求的值；

②求的值．

18．在四棱锥中，底面为平行四边形，为底面中心，分别为的中点，为等腰直角三角形，且．

(1)求证：平面；

(2)求异面直线与所成角的余弦值；

(3)若分为的中点，点在线段上，且．求证：平面平面．

（注：只能使用几何法，其他方法一律不给分）

19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，

(1)若，

①求；

②若，设点为的费马点，求；

(2)若，设点为的费马点，，求实数的最小值．

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参考答案：

1．D

【分析】根据向量线性运算计算即可．

【详解】，

故选：D．

2．B

【分析】利用向量线性运算的坐标表示和向量垂直的坐标表示，列方程求的值.

【详解】，

，则有，解得.

故选：B

3．D

【分析】根据复数的运算法则求出，由此得到虚部.

【详解】

复数的虚部为

本题正确选项：

【点睛】本题考查复数的运算及复数的基本概念，属于基础题.

4．C

【分析】由向量数量积的运算律及投影向量的公式求解即可．

【详解】因为，所以，

所以，即，

在中，，，则，

所以在方向上的投影向量为，

故选：C．

5．D

【分析】利用圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，求得圆锥的母线长，从而可得侧面积，再求出底面圆的面积，从而可得圆锥的表面积.

【详解】由扇形的弧长等于底面周长可得：

，解得：，

扇形面积，底面面积，

圆锥的表面积为.

故选：D.

6．C

【分析】利用面面平行的性质可判断C选项；利用已知条件判断线面、线线、面面的位置关系，可判断ABD选项.

【详解】对于A选项，若，，则或，A错；

对于B选项，若，，，，则或、相交，B错；

对于C选项，若，，则，C对；

对于D选项，若，，，则或、异面，D错.

故选：C.

7．D

【分析】在中，由正弦定理，求得，再在中，即求.

【详解】在中，，

则，

由正弦定理得，

解得(m），

又在点测得塔顶的仰角为，即，

在中，(m).

故选：