2023年高中数学基础知识梳理及基础题型归纳-立体几何模块-第五节空间几何体的表面积和体积.docx

第五节空间几何体的表面积和体积

【知识点20】空间几何体的表面积

一般地，我们可以把多面体展开成平面图形，求出展开图中各个小多边形的面积，然后相加即为多面体的表面积．

1.直棱柱和正棱锥的表面积

(1)直棱柱的侧面积

①侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱．

②直棱柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于直棱柱的底面周长c，宽等于直棱柱的高h，因此，直棱柱的侧面积是S直棱柱侧＝ch.

③底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱．

(2)正棱锥的侧面积

①如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心，那么称这样的棱锥为正棱锥．正棱锥的侧棱长都相等．

②棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的，展开图的面积就是棱锥的侧面积．如果正棱锥的底面周长为c，斜高(即侧面等腰三角形底边上的高)为h′，它的侧面积是S正棱锥侧＝eq\f(1,2)ch′.

2.正棱台的表面积

正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台．与正棱锥的侧面积公式类似，若设正棱台的上、下底面的周长分别为c′，c，斜高为h′，则其侧面积是S正棱台侧＝eq\f(1,2)(c＋c′)h′.

3.圆柱、圆锥、圆台的表面积

【推导圆柱侧面积及表面积】S侧＝2πrl，S表＝2πr(r＋l)．

【推导圆锥侧面积及表面积】底面周长是2πr，利用扇形面积公式得

S侧＝eq\f(1,2)×2πrl＝πrl，S表＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)．

【推导圆台侧面积及表面积】由题图知，圆台的侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，则eq\f(x,x＋l)＝eq\f(r,R)，解得x＝eq\f(r,R－r)l.

S扇环＝S大扇形－S小扇形＝eq\f(1,2)(x＋l)×2πR－eq\f(1,2)x×2πr＝π[(R－r)x＋Rl]＝π(r＋R)l，

所以S圆台侧＝π(r＋R)l，S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2)．

图形

表面积公式

旋转体

圆柱

底面积：S底＝2πr2，

侧面积：S侧＝2πrl，

表面积：S＝2πr(r＋l)

圆锥

底面积：S底＝πr2，

侧面积：S侧＝πrl，

表面积：S＝πr(r＋l)

圆台

上底面面积：S上底＝πr′2，

下底面面积：S下底＝πr2，

侧面积：S侧＝π(r′l＋rl)，

表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)

【典型例题】

【类型一】求多面体的侧面积和表面积

【例1】正四棱台两底面边长分别为a和b(ab)．

(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积；

(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．

【变式1】已知正四棱台的高是12cm，两底面边长之差为10cm，表面积为512cm2，求底面的边长．

【反思】(1)求棱锥、棱台及棱柱的侧面积和表面积的关键是求底面边长，高，斜高，侧棱．求解时要注意直角三角形和梯形的应用．

(2)正棱柱、正棱锥、正棱台的所有侧面都全等，因此求侧面积时，可先求一个侧面的面积，然后乘以侧面的个数．

(3)棱台是由棱锥所截得到的，因此棱台的侧面积也可由大小棱锥侧面积作差得到．

【变式2】已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高为3，求它的表面积．

【变式3】如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，三棱锥D1—AB1C的表面积与正方体的表面积的比为________．

【思考1】如图，已知正三棱锥S－ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积．

【类型二】与三视图结合综合问题

【例2】某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的表面积为.

【变式1】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）

A.B.C.D.

【变式2】如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体各面中直角三角形的个数是

A.B.C.D.

【变式3】已知一个几何体的三视图如图所示（单位:），其中俯视图为正三角形,则该几何体的体积为_______

【思考2】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为.

【思考3】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为

A.60B.30C.20D.10

【变式1】如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为（）

A.8B.4C.D.

【类型三】求旋转体的表面积

【例3】圆台的上、下底面半径分别为10cm和20cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积是________cm2.(结果中保留π)

【变式1】圆台的一