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第三章:圆
一、圆的概念
集合形式的概念:1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合(平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图像叫做圆;
2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;
3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念:
圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;
圆的对称性:圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线
圆弧(简称:弧):圆上任意两点的部分
弦:连接圆上任意两点的线段(经过圆心的弦叫做直径)
如图所示,以A,B为端点的弧记做,读作:“圆弧”或者“弧”;线段是⊙的一条弦,弦是⊙的一条直径;
【典型例题】
例1.有下列四个命题:①直径是弦;②经过三个点一定可以作圆;③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等;④半径相等的两个半圆是等弧.其中正确的有().
A.4个B.3个C.2个D.1个
例2.点到⊙上的最近距离为,最远距离为,则⊙的半径为
二、点和圆的位置关系
1、点在圆内点在圆内;
2、点在圆上点在圆上;
3、点在圆外点在圆外;
三、直线和圆的位置关系
1、直线和圆相离无交点;
2、直线和圆相切有一个交点;
3、直线和圆相交有两个交点;
四、圆和圆的位置关系
考查形式:考查两圆的位置关系和数量关系(圆心距和两圆的半径)的对应,常以填空题或选择题的形式出现.题目常和图案、方程、坐标等进行综合
外离(图1)无交点;
外切(图2)有一个交点;
相交(图3)有两个交点;
内切(图4)有一个交点;
内含(图5)无交点;
例、1、若两圆相切,且两圆的半径分别是2,3,则这两个圆的圆心距是(???)
A.5??????B.1??????C.1或5????D.1或4
2、若两圆半径分别为R和r(R>r),圆心距为d,且R2+d2-r2=2,则两圆的位置关系是()??
A.内切?????B.外切?????C.内切或外切???D.相交
3.若半径分别为6和4的两圆相切,则两圆的圆心距d的值是?。
【变式训练】
1、⊙O1和⊙O2的半径分别为1和4,圆心距O1O2=5,那么两圆的位置关系是(??)
A.外离???B.内含?????C.外切????D.外离或内含
2、如果半径分别为1和2的两圆外切,那么和这两个圆都相切,且半径为3的圆的个数有(?)
A.2个?????B.3个??????C.4个??????D.5个
3、已知:⊙O1和⊙O2的半径是方程x2-5x+6=0的两个根,且两圆的圆心距等于5则⊙O1和⊙O2的位置关系是(?)
A.相交????B.外离???C.外切????D.内切
二、填空题
4.⑴⊙O1和⊙O2相切,⊙O1的半径为4,圆心距为6,则⊙O2的半径为;
⑵⊙O1和⊙O2相切,⊙O1的半径为6,圆心距为4,则⊙O2的半径为
5.⊙O1、⊙O2和⊙O3是三个半径为1的等圆,且圆心在同一直线上,若⊙O2分别和⊙O1,⊙O3相交,⊙O1和⊙O3不相交,则⊙O1和⊙O3圆心距d的取值范围是。
五、垂径定理
考查形式:主要考查借助垂径定理的解决半径、弧、弦、弦心距之间的计算和证明,填空题、选择题或解答题中都经常出现它的身影.解决是应注意作出垂直于弦的半径或弦心距,构造直角三角形进行解决.
垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即:
①是直径②③④弧弧⑤弧弧
中任意2个条件推出其他3个结论。
推论1:圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即:在⊙中,∵∥
∴弧弧
例1、如图23-10,是⊙O的直径,弦⊥,垂足为E,如果=10,=8,那么的长为()
A.2B.3C.4 D.5
ABMO例2、如图,⊙O的直径为10厘米,弦的长为6,M
A
B
M
O
?A.3≤≤5
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