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一、高中数学重要数学思想
一、函数方程思想
函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处理变量或未知数之间的关系,从
而解决问题的一种思维方式,是很重要的数学思想。
1.函数思想:把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来,并研
究这些量间的相互制约关系,最后解决问题,这就是函数思想;
2.应用函数思想解题,确立变量之间的函数关系是一关键步骤,大体可分为下面
两个步骤:(1)根据题意建立变量之间的函数关系式,把问题转化为相应的函
数问题;(2)根据需要构造函数,利用函数的相关知识解决问题;(3)方程
思想:在某变化过程中,往往需要根据一些要求,确定某些变量的值,这时常常
列出这些变量的方程或(方程组),通过解方程(或方程组)求出它们,这就是
方程思想;
3.函数与方程是两个有着密切联系的数学概念,它们之间相互渗透,很多方程的
问题需要用函数的知识和方法解决,很多函数的问题也需要用方程的方法的支
援,函数与方程之间的辩证关系,形成了函数方程思想。
二、数形结合思想
数形结合是中学数学中四种重要思想方法之一,对于所研究的代数问题,有时可
研究其对应几何的性质使问题得以解决(以形助数);或者对于所研究的几何问
题,可借助于对应图形的数量关系使问题得以解决(以数助形),这种解决问题
的方法称之为数形结合。
1.数形结合与数形转化的目的是为了发挥形的生动性和直观性,发挥数的思路的
规范性与严密性,两者相辅相成,扬长避短。
2.恩格斯是这样来定义数学的:数学是研究“现实世界的量的关系与空间形式的
科学”。这就是说:数形结合是数学的本质特征,宇宙间万事万物无不是数和形
的和谐的统一。因此,数学学习中突出数形结合思想正是充分把握住了数学的精
髓和灵魂。
3.数形结合的本质是:几何图形的性质反映了数量关系,数量关系决定了几何图
形的性质。
4.华罗庚先生曾指出:数“缺性时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,
隔裂分家万事非。”数形结合作为一种数学思想方法的应用大致分为两种情形:
或借助于数的精确性来阐明形的某些属性,或者借助于形的几何直观性来阐明数
之间的某种关系.
5.把数作为手段的数形结合主要体现在解析几何中,历年高考的解答题都有关于
这个方面的考查(即用代数方法研究几何问题)。而以形为手段的数形结合在高
考客观题中体现。
6.我们要抓住以下几点数形结合的解题要领:
(1)对于研究距离、角或面积的问题,可直接从几何图形入手进行求解即可;
(2)对于研究函数、方程或不等式(最值)的问题,可通过函数的图象求解(函
数的零点,顶点是关键点),作好知识的迁移与综合运用;
(3)对于以下类型的问题需要注意:可分别通过构造距离函数、斜率函数、截
距函数、单位圆x2+y2=1上的点及余弦定理进行转化达到解题目的。
三、分类讨论的数学思想
分类讨论是一种重要的数学思想方法,当问题的对象不能进行统一研究时,就需
要对研究的对象进行分类,然后对每一类分别研究,给出每一类的结果,最终综
合各类结果得到整个问题的解答。
1.有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决,引起分类讨论的原因
大致可归纳为如下几种:
(1)涉及的数学概念是分类讨论的;
(2)运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的;
(3)求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性;
(4)数学问题中含有参变量,这些参变量的不同取值导致不同的结果的;
(5)较复杂或非常规的数学问题,需要采取分类讨论的解题策略来解决的。
2.分类讨论是一种逻辑方法,在中学数学中有极广泛的应用。根据不同标准可以
有不同的分类方法,但分类必须从同一标准出发,做到不重复,不遗漏,包含
各种情况,同时要有利于问题研究。
四、化归与转化思想
所谓化归思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过
变换使之转化,进而达到解决的一种方法。一般总是将复杂的问题通过变化转化
为简单的问题,将难解问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题转
化为已解决的问题。
立体几何中常用的转化手段有
1.通过辅助平面转化为平面问题,把已知元素和未知元素聚集在一个平面内,实
现点线、线线、线面、面面位置关系的转化;
2.平移和射影,通过平移或射影达到将立体几何问题转化为平面问题,化未知为
已知的目的;
3.等积与割补;
4.类比和联想;
5.曲与直的转化;
6.体积比,面积比,长度比的转化;
7.解析几何本身的创建过程就是数“”与形“”之间互相转化的过程。解析
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