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美丽的数学（1）：兰切斯特方程

一群群数字和一组组符号构成数学的外形，也描述了这个世界。数学与音乐、雕塑、诗歌一样，它以抽象理性的思维，艺术感的表象，是美学的四大支柱。

自然界中数学上的对称、圆周率、公理、悖论、数学诗、河图与洛书、八卦、勾股定理、幻方……

中国的工匠曾经如此完美地应用过数学知识：重檐斗拱的紫禁城南半部的对角线，精细地从皇帝每天上朝端坐地太和殿中穿过!

美丽的数学，吸引着美丽的心灵，爱数学的孩子不会变坏！从今天起，我们陆续用通俗的语言说些数学的话题。

假如有两队人马在交战，士兵的战斗力都相同，一方2000人，另一方1000人，猜一下交战结果？

很聪明，人数多的一方获胜。

再猜一下，全歼对方，人数多的一方还剩多少人？

还剩1732人，惊讶吧？是的，人数多的一方只需要损失268人，就可以全歼对方1000人！

这是一次世界大战期间，英国人兰切斯特在研究空战飞机编队中发现提出的。他提出一个常微分方程组，用以描述作战双方兵力变化关系，包括第一线性律、第二线性律和平方律，三种基本形式。它的正确性经过了无数战场的检验，已经是武器装备论证、军事训练和作战决策中重要的分析工具之一。

解放军从弱到强的过程，就是对人海战术的高明使用。解放军的歼敌传统是用灵活机动的近战和夜战，拉近自身和敌人在杀伤力上的差距，然后在局部空间中聚集三倍以上于敌人的兵力，迅速歼灭敌人。

1947年五月的孟良崮战役开展时，在整个山东解放军兵力只有27万，国军则有四十五万。

但华野抓住战机,以十五万人合围国军74师的三万两千人，双方兵力比例为约五比一,华野在短时间和局部空间内形成绝对优势.尽管74师武器和单兵作战能力极为强悍,是华野的三倍以上，但是按照兰切斯特方程的估算，双方实际的战斗力相比为25：3,大约八比一，最后华野以伤亡一万二千人的代价，全歼了74师。?

使用兰切斯特方程摸拟的硫磺岛战役、顺化战役等，计算结果与事实非常接近。它揭示了双方战力相同的野战前提下，人海战术的决定性作用，另一方面强调在攻坚战、阵地战模式下，火力则起决定性作用。

兰切斯特方程同样体现在自然界，在自然界中，没有尖牙利齿的动物要生存，往往有数量上的巨大优势。比如刚孵化出的海龟在某一个时间从海滩上大规模的集体冲入大海，而海鸟只能在这个特定时间捕食一定数量的海龟，最终在最短的时间内，小海龟以最小损失率返回大海。

兰切斯特方程也被用于市场竞争地位分析，比如铺天盖地的产品和渠道，使得可乐饮料、方便面、卫生纸这些大众消费品往往被大型连锁公司所垄断，弱者基本没有机会进入。

兰切斯特方程同样解释了经济社会中的一些现象，假设每一单位的投资产生的利润相同，投入的越多，拿到的利润就会越多。这就是为什么有钱人，会越来越有钱，草根们会越来越穷越来越多。