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随机系统的最优控制理论、实现和应用

针对非均匀介质的扩散模型和现实图像的识别问题,本文旨在研究相关随机系统的最优控制理论、实现和应用。通过量化模型中不确定性因素对系统状态的影响,设计具有鲁棒性的控制函数在工程决策领域里有着重要的价值。

具体来讲,本文首先考虑带随机系数的分布式椭圆控制问题,其中扩散系数需采用高维的随机场模型以便刻画复杂的地质条件。为应对维数灾难的问题,本文在数值离散中选用了蒙特卡洛有限元法并推导出相关的误差估计。

然而在通过梯度下降算法寻找最优控制函数的高精度逼近时,每步迭代都需要在剖分很细的网格上求大量状态以及对偶函数的有限元样本解。因此,本文提出部分采样的梯度下降算法来降低更新过程的计算花销,并利用时间平均的策略来消除由欠采样引发的随机震荡。

另一方面,借助于多重蒙特卡洛有限元法,最优状态函数的期望等统计矩可以先在粗网格上花费较低的代价来数值逼近,然后利用细网格上少量的样本解作为修正,故相比于传统的单重网格算法更经济有效。特别的,由于工程应用中的地质构造十分复杂,渗透率在多孔页岩层的不同位置差别可达十个数量级以上,因此在建立扩散系统的随机模型时还需考虑多尺度效应。

确切地讲,通过援引具有遍历性的多尺度随机扩散系数,本文接下来研究相应的分布式椭圆控制问题及其渐进行为,并利用随机匀质化理论证明该问题的宏观模型为常系数的椭圆控制问题。数值实验的计算结果验证了上述理论分析,并且给出多尺度问题到达匀质化状态的收敛速度估计。

与此同时,深度学习的各类应用以及对其工作原理的解读成为近年来热门的讨论主题,其中残差网络在解决现实图像的识别和分割等任务中取得许多突破性成果,相关的随机训练方法是本文最后要研究的课题。具体地讲,图像特征的变换规律在插入标配的剪枝层后等价于随机修正方程的数值离散格式,进而根据伊藤公式可知:深度残差网络的传统和随机训练过程可以分别被描述为倒向输运方程和Kolomogorov方程的最优控制问题。

因此从偏微分方程的角度来看,剪枝层的使用相当于在约束条件里添加人工粘性项来增强损失函数的正则性,继而迫使优化算法收敛到泛化能力更好的局部最优解附近。事实上,该理论框架同样适用于其他类型的加噪技巧,本文也据此构建出带有伯努利剪枝层的随机训练方法,并通过现实图像的分类任务验证了这一策略的有效性。

本文构建的理论和算法能够有效分析各类系统中不确定性因素所带来的影响,从而为工程工业领域的决策控制提供科学依据。