人教版初中数学同步讲义九年级上册专题03 二次函数的最值与存在性问题（20题）（解析版）.pdfVIP

专题第03讲二次函数的最值与存在性问题（20题）

1．（2023春•鼓楼区校级期末）在人教版八年级上册数学教材P53的数学活动中有这样一段描述：如图，四

边形ABCD中，AD＝CD，AB＝BC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．

（1）试猜想筝形的对角线有什么位置关系，然后用全等三角形的知识证明你的猜想；

（2）已知筝形ABCD的对角线AC，BD的长度为整数值，且满足AC+BD＝6．试求当AC，BD的长度

为多少时，筝形ABCD的面积有最大值，最大值是多少？

【分析】（1）由SSS证明△ABD≌△CBD，再由对应角相等，可知在等腰三角

形ACD中，OD是三线合一，由此可证想筝形的对角线相互垂直；

（2）写出筝形ABCD的面积表达式S筝形ABCD＝AC•BD，将BD＝6﹣AC代

入，得到关于AC的二次函数，再用配方法求其最大值及取得最大值的条件．

【解答】（1）筝形的对角线相互垂直．

证明：∵AD＝CD，AB＝BC，BD＝BD，

∴△ABD≌△CBD（SSS），

∴∠ADB＝∠CDB，

∴AC⊥BD．

（2）∵AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，

∴OA＝OC，

∴S筝形ABCD＝AC•BD．

将BD＝6﹣AC代入S筝形ABCD＝AC•BD，

得S筝形ABCD＝AC•BD＝AC（6﹣AC）＝﹣≤．

∴当AC＝BD＝3时，筝形ABCD的面积有最大值，最大值是．

2．（2023•苏州一模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm．点P从点A出发，以1cm/s

的速度沿AB运动：同时，点Q从点B出发，2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点

同时停止运动．设动点运动的时间为t（s）．

2

（1）当t为何值时，△PBQ的面积为2cm；

（2）求四边形PQCA的面积S的最小值．

【分析】（1）利用两点运动的速度表示出PB，BQ的长，进而表示出△PBQ的面积即可；

（2）根据二次函数的性质确定四边形APQC面积的最小值．

【解答】解：（1）由题意得：PB＝（3﹣t）cm，BQ＝2tcm，

2

S△PBQ＝BQ•PB＝×2t×（3﹣t）＝﹣t+3t（0≤t≤2），

2

∵S△PBQ＝﹣t+3t＝2，

解得t＝1或t＝2，

2

∴当t＝1s或2s时，△PBQ的面积为2cm；

222

（2）∵S＝﹣（﹣t+3t）＝t﹣3t+6＝（t﹣）+（0≤t≤2），

∵a＝1，

2

∴t＝﹣＝s时，S有最小值，最小值为cm．

2

3．（2023春•汉寿县期中）如图，抛物线y＝ax+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与

2

y轴交于点C（0，﹣3），点D为直线OD与抛物线y＝ax+bx+c（a≠0）在x轴下方的一个交点，点P

为此抛物线上的一个动点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若直线OD为，求点D的坐标；

（3）在（2）的条件下，当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．

2

【分析】（1）根据点C坐标得到c值，再将A，B坐标代入y＝ax+bx﹣3，解之，即可求解；

（