人教版初中数学同步讲义九年级上册专题01 与旋转有关的计算（30题）（解析版）.pdfVIP

专题第01讲与旋转有关的计算

1．（2023春•秦都区期末）如图，△ABC是等边三角形，点E在AC边上，连接BE，将BE绕点B逆时针

旋转60°得到BD，连接DE、AD．

（1）求证：AD＝CE；

（2）若BC＝8cm，BE＝7cm，求△ADE的周长．

【分析】（1）利用等边三角形的性质和判定和旋转的性质，证明△CBE≌△ABD，即可得解；

（2）由BC＝8cm，BE＝7cm，结合（1）的结论，等线段转化，得到△ADE的周长．

【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，

∴BC＝BA，∠ABC＝60°．

∵BD是由BE绕点B逆时针旋转60°得到，

∴BD＝BE，∠EBD＝60°，

∴△BDE是等边三角形，

∴∠CBE＝∠ABD，

∴△CBE≌△ABD（SAS），

∴AD＝CE；

（2）解：∵△ABC和△BED都是等边三角形，

∴AE+AD＝AE+CE＝AC＝BC＝8cm，DE＝BE＝7cm，

∴△ADE的周长为AD+AE+DE＝8+7＝15cm．

2．（2023春•北林区期末）如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△

ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ．

（1）求证：EF＝EQ；

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（2）求证：EF＝BE+DF．

【分析】（1）直接利用旋转的性质得出△AQE≌△AFE（SAS），进而得出∠AEQ＝∠AEF，即可得出答

案；

（2）利用（1）中所求，再结合勾股定理得出答案．

【解答】证明：（1）∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，

∴QB＝DF，AQ＝AF，∠BAQ＝∠DAF，

∵∠EAF＝45°，

∴∠DAF+∠BAE＝45°，

∴∠QAE＝45°，

∴∠QAE＝∠FAE，

在△AQE和△AFE中

，

∴△AQE≌△AFE（SAS）．

∴EF＝EQ；

（2）由（1）得△AQE≌△AFE，

∴QE＝EF，

由旋转的性质，得∠ABQ＝∠ADF，

∠ADF+∠ABD＝90°，

则∠QBE＝∠ABQ+∠ABD＝90°，

在Rt△QBE中，

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QB+BE＝QE，

又∵QB＝DF，

222

∴EF＝BE+DF．

3．（2022秋•同心县期末）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，将△BCD绕点C旋转得到△ACE．

（1）求证：△CDE是等边三角形；

（2）若AB＝8，BD＝7，求△ADE的周长．

【分析】（1）由旋转的性质可得CD＝CE，∠ACB＝∠ACE＝60°，可得∠CDE＝60°＝∠ACB，可证

DE∥BC；

（2）由旋转的性质可得AE＝BD＝7，即可求△ADE的周长．

【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝60°，

∵将△BCD绕点C旋转得到△ACE．

∴CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，

∴△CDE是等边三角形；

（2）解：∵将△BCD绕点C旋转得到△ACE．

∴AE＝BD＝7，

∵△ADE的周长＝AE+DE+AD＝AE+DC+AD＝AE+AC，

∴△ADE的周长＝7+8＝15．

4．（2023春•清远期末）如图，在△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位

置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．

（1）求证：BC＝EF；

（2）若∠ABC＝64°，∠ACB＝25°，求∠AGE的度数．

【分析】（1）由旋转的性质可得AC＝AF，利用SAS证明△ABC≌△AEF，根据全等三角形的对应边相等

即可得出EF＝BC；

（2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠BAE＝180°﹣64°×2＝52°，那么∠FAG＝

52°．由△ABC≌△AEF，得出∠F＝∠C＝25°，再根据三角形外角的性质即可求出∠AGE＝∠FGC＝

∠FAG+∠F＝77°．

【解答】（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE，

∴∠BAC＝∠EAF．

∵将线段AC绕A点旋转到AF