人教版初中数学同步讲义九年级上册专题02 二次函数的实际应用（30题）（解析版）.pdfVIP

专题第02讲二次函数的实际应用（30题）

1．（2022秋•泰兴市期末）一水果店售卖一种水果，以8元/千克的价格进货，经过往年销售经验可知：以

12元/千克售卖，每天可卖60千克；若每千克涨价0.5元，每天要少卖2千克；若每千克降价0.5元，每

天要多卖2千克，但不低于成本价．设该商品的价格为x元/千克时，一天销售总质量为y千克．

（1）求y与x的函数关系式．

（2）若水果店货源充足，每天以固定价格x元/千克销售（x≥8），试求出水果店每天利润W与单价x的

函数关系式，并求出当x为何值时，利润达到最大．

【分析】（1）根据“若每千克涨价0.5元，每天要少卖2千克；若每千克降价0.5元，每天要多卖2千克”，

可列出y与x的函数关系式；

（2）用x的代数式表示出W，在由二次函数性质可得答案．

【解答】解：（1）由题意可得，y＝60﹣×2＝﹣4x+108；

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（2）由题意可得，W＝y（x﹣8）＝（﹣4x+108）（x﹣8）＝﹣4x+140x﹣864＝﹣4（x﹣）+361，

∵﹣4＜0，

∴当时，利润W达到最大，最大值为361，

答：当x为时，利润达到最大．

2．（2023•朝阳）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于

19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，

部分数据如下表所示：

销售单价x/元…121314…

每天销售数量y/…363432…

件

（1）直接写出y与x之间的函数关系式；

（2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？

（3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？

【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），然后用待定系数法求函数解析式；

（2）依据利润＝单件利润×销售量列出方程，解答即可；

（3）根据利润＝单件利润×销售量列出函数解析式，然后由函数的性质以及自变量的取值范围求出函数

最值．

【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由所给函数图象可知：

，

解得：，

故y与x的函数关系式为y＝﹣2x+60；

（2）根据题意得：

（x﹣10）（﹣2x+60）＝192，

解得：x＝18，x＝22

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又∵10≤x≤19，

∴x＝18，

答：销售单价应为18元．

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（3）w＝（x﹣10）（﹣2x+60）＝﹣2x+80x﹣600＝﹣2（x﹣20）+200

∵a＝﹣2＜0，

∴抛物线开口向下，

∵对称轴为直线x＝20，

∴当10≤x≤19时，w随x的增大而增大，

∴当x＝19时，w有最大值，W＝198．

最大

答：当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元．

3．（2023•海淀区校级开学）电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂可以近似的看成抛物线的形状．如图，

在一个斜坡BD上按水平距离间隔60米架设两个塔柱，每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为27米（AB

＝CD＝27米），以过点A的水平线为x轴，水平线与电缆的另一个交点为原点O建立平面直角坐标系，

如图所示．经测量，AO＝40米，斜坡高度12米（即B、D两点的铅直高度差）．

结合上面信息，回答问题：

（1）若以1米为一个单位长度，则D点坐标为，下垂电缆的抛物线表达式为．

（2）若电缆下垂的安全高度是13.5米，即电缆距离坡面铅直高度的最小值不小