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第六章多自由度体系的方程
以前各章讨论的对象均为单自由度体系，它的仅需
一个方程来描述，求解这个方程，就可以得
到单自由度体系的位移、速度和加速度以及能量等。
工程中所涉及的结构一般都是多自由度的，例如二层以
上的框架结构、多跨及大跨梁结构、平面网架结构等
等。
第六章多自由度体系的方程
虽然在一些简单的估算中可以采用广义坐标法将一个多
自由度体系化为单自由度问题求得近似解，例如多层
结构抗震设计时采用的简化分析方法—基底剪力法。
对于一个烟囱，也可以采用如下形函数，
(z)1−coszu(t)(z)q(t)
2H
化为一个单自由度问题进行初步分析，其中H为烟囱的
高度，z为位置坐标，而q(t)为广义坐标。如果形函数
取得较好，而外荷载又按某一形式分布，则用等效单
自由度方法也可以得到相当好的近似解。但对于复杂
的结构体系或作用的外荷载变化复杂时，用等效的单
自由度方法得到的解可能会导致相当大的误差。这时
就必须直接采用多自由度体系分析方法解决问题，即
必须采用自由度来描述体系的状态。
第六章多自由度体系的方程
建立单自由度体系方程的方法均可以用来建
立多自由度体系的方程，例如：牛顿第二
定律；直接平衡法(d’Alember)；虚位移原理；
Hamilton方程；的Lagrange方程，都可用
于多自由度体系。
但基于矩阵位移法的直接平衡方程和基于变分原
理的Lagrange方法应用更广泛一些。
结构单元矩阵(刚度矩阵、质量矩阵、阻尼矩阵)。
首先复下结构力学中的刚度阵法（矩阵位移法）
如果为N层结构，自由度为N，每一楼层有集中质量m，
i
外荷载p，层间刚度k，各层的水平为u，i1,…,
iii
N。这个层间模型也可以转化成质点—弹簧模型。
应用d’Alember原理
f+f+fp(t),i1,2,N
IiDisii
fIi—惯性力；fp(t)
I11
f—阻尼力；fp(t)
DifI2p(t)2
I
fsi—弹性恢复力；
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