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新高中数学《数列》专题解析
一、选择题
1.设{an}为等比数列,{bn}为等差数列,且Sn为数列{bn}的前n项和.若a2=1,a10=16且a6=b6,则S11=()
A.20 B.30 C.44 D.88
【答案】C
【解析】
【分析】
设等比数列{an}的公比为q,由a2=1,a10=16列式求得q2,进一步求出a6,可得b6,再由等差数列的前n项和公式求解S11.
【详解】
设等比数列{an}的公比为q,由a2=1,a10=16,
得,得q2=2.
∴,即a6=b6=4,
又Sn为等差数列{bn}的前n项和,
∴.
故选:C.
【点睛】
本题考查等差数列与等比数列的通项公式及性质,训练了等差数列前n项和的求法,是中档题.
2.数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,…,称为斐波那契数列,是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始,每项等于其前相邻两项之和.即:.记该数列的前项和为,则下列结论正确的是()
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据递推关系利用裂项相消法探求和项与通项关系,即得结果.
【详解】
因为
,
所以,选D.
【点睛】
本题考查裂项相消法,考查基本分析判断能力,属中档题.
3.已知数列为等比数列,前项和为,且,,若数列也是等比数列,则()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设等比数列的公比为,写出.由数列是等比数列,得,求出,即求.
【详解】
设等比数列的公比为,,
,
,,,
也是等比数列,,即
解得,.
故选:C.
【点睛】
本题考查等比数列的性质,属于基础题.
4.已知各项均为正数的等比数列的前项和为,且满足,,成等差数列,则()
A.3 B.9 C.10 D.13
【答案】C
【解析】
【分析】
设的公比为,由成等差数列,可得,解得,再利用求和公式即可得结果.
【详解】
设各项均为正数的等比数列的公比为,
满足成等差数列,
,
,解得,
则,故选C.
【点睛】
本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式,属于中档题.等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型,数列中的五个基本量,一般可以“知二求三”,通过列方程组所求问题可以迎刃而解,解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式,并灵活应用,在运算过程中,还应善于运用整体代换思想简化运算过程.
5.若为等差数列,是其前项和,且,则的值为()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由,即可求出进而求出答案.
【详解】
∵,∴,,
故选B.
【点睛】
本题主要考查等差数列的性质,熟记等差数列的性质以及等差数列前项和性质即可,属于基础题型.
6.等差数列的前项和为,已知,则的值为()
A.63 B.21 C. D.21
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等差数列性质,原式可变为,即可求得.
【详解】
∵,
∴,
∴,∴,
故选:C.
【点睛】
此题考查等差数列性质和求和公式,需要熟练掌握等差数列基本性质,根据性质求和.
7.等差数列的首项为,且从第10项开始为比1大的项,则公差的取值范围是()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意可知,,把的值代入列不等式解得即可.
【详解】
由题意,设数列的公差为,首项,则,
即,解得.
故选:D.
【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式的应用,要熟练记忆等差数列的通项公式.
8.设函数的导数为,则数列的前n项和是()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
函数的导函数,先求原函数的导数,两个导数进行比较即可求出,,利用裂项相消法求出的前项和即可.
【详解】
,
,,,
,
,
故选:B.
【点睛】
本题考查数列的求和运算,导数的运算法则,数列求和时注意裂项相消法的应用.
9.科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线,一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到,任画一条线段,然后把它均分成三等分,以中间一段为边向外作正三角形,并把中间一段去掉,这样,原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线,称为“一次构造”;用同样的方法把每条小线段重复上述步骤,得到16条更小的线段构成的折线,称为“二次构造”,…,如此进行“次构造”,就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍,则至少需要通过构造的次数是().(取,)
A.16 B.17 C.24 D.25
【答案】D
【解析】
【分析】
由折线长度变化规律可知“次构造”后的折线长度为,由此得到,利用运算法则可知,由此计算得到结果.
【详解】
记初始线段长度为,则“一次构造”后的
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