考研数学三线性代数(矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷6(题后含.pdfVIP

考研数学三线性代数（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷6(题后

含答案及解析)

题型有：1.jpg/解得此方程组的基础解系α=(一1，1，1)T。根据

A(α1,α2，α)=(6α1,6α2，0)得A=(6α1,6α2，0)(α1,α2，α)-1=涉

及知识点：矩阵的特征值和特征向量

设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(一1，2，一1)T，

α2=(0，一l，1)T是线性方程组Ax=0的两个解。

4．求A的特征值与特征向量；

正确答案：因为矩阵A的各行元素之和均为3，所以有则λ=3是矩

阵A的特征值，α=(1，1，1)T是对应的特征向量。对应λ=3的全部特征向量

为kα=k(1，l，1)T，其中k是不为零的常数。又由题设知Aα1=0，A

α2=0，即Aα1=0·α1，Aα2=0·α2，而且α1,α2线性无关，所以λ=0是

矩阵A的二重特征值，α1,α2是其对应的特征向量，因此对应λ=0的全部特征

向量为k1α1+k2α2=k1(一1，2，一1)T+k2(0，一1，1)T，其中k1,k2是不

全为零的常数。涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量

5．求正交矩阵Q和对角矩阵Λ，使得QTAQ=Λ。

正确答案：因为A是实对称矩阵，所以α与α1,α2正交，只需将α1与α2

正交化。由施密特正交化法，取β1=α1，β2=α2－,再将α，β1,β2单位

化，得令Q=(η1,η2，η3)，则Q-1=QT，且QTAQ==A。涉及知识

点：矩阵的特征值和特征向量

A为三阶实对称矩阵，A的秩为2，且

6．求A的所有特征值与特征向量；

正确答案：由即特征值λ1=一1,λ2=1对应的特征向量为又由r(A)=2与

两两正交，于是得由此得η=是特征值0对应的特征向量。因此k1α1，k2α2，

k3η是依次对应于特征值一1，1，0的特征向量，其中k1,k2,k3为任意非零常数。

涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量

7．求矩阵A。

正确答案：令则A=PΛP-1=。涉及知识点：矩阵的特征

值和特征向量

设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2，α1=(1，一l，1)T

是A的属于特征值λ1的一个特征向量，记B=A5一4A3+E，其中E为三阶单

位矩阵。

8．验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；

正确答案：由Aα1=α1得A2α1=Aα1=α1，依次递推，则有A3α1=α1，

A5α1=α1，故βα1=(A5一4A3+E)α1=A5α1一4A3α1+α1=一2α1，

即α1是矩阵B的属于特征值－2的特征向量。由关系式B=A5一4A3+E及

A的三个特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2得B的三个特征值为μ1=一2，μ2=1，

μ3=1。设α2，α3为B的属于μ2=μ3=1的两个线性无关的特征向量，又

由A为对称矩阵，则B也是对称矩阵，因此α1与α1,α2正交，即α1Tα2=0，

α1Tα3=0。因此α2,α3可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解，

即(1，一1，1)=0，得其基础解系为，故可取α2=β的全部特征向量为k1，其中

k1≠0，k2,k3不同时为零。涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量

9．求矩阵B。

正确答案：令P=(α1,α2,α3)=，则P-1BP=,于是