考研数学一(线性代数)模拟试卷54(题后含答案及解析).pdfVIP

考研数学一（线性代数）模拟试卷54(题后含答案及解析)

题型有：1.选择题2.填空题3.解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵。若A3=O，则()

A．E-A不可逆，E+A不可逆。

B．E-A不可逆，E+A可逆。

C．E-A可逆，E+A可逆。

D．E-A可逆，E+A不可逆。

正确答案：C

解析：已知(E-A)(E+A+A2)=E-A3=E，(E+A)(E-A+A2)=E+A3=E。故E-A，

E+A均可逆。故应选C。知识模块：线性代数

2．已知A=，A*是A的伴随矩阵，若r(A*)=1，则a=()

A．3。

B．2。

C．1。

D．1或3。

正确答案：D

解析：伴随矩阵秩的公式为可见r(A*)=1r(A)=3。对矩阵A作初等变换，

有若a=3，则A→，r(A)=3；若a=2，则A→，r(A)=4；若a=1，则A→，r(A)=3。

所以a=1或3时，均有r(A*)=1。因此应选D。知识模块：线性代数

3．设α1=(1，2，3，1)T，α2=(3，4，7，-1)T，α3=(2，6，a，6)T，α

4=(0，1，3，a)T，那么a=8是α1，α2，α3，α4线性相关的()

A．充分必要条件。

B．充分而非必要条件。

C．必要而非充分条件。

D．既不充分也非必要条件。

正确答案：B

解析：n个n维向量的线性相关性一般用行列式｜α1，α2，…，αn｜是

否为零判断。因为｜α1，α2，α3，α4｜=当a=8时，行列式｜α1，α2，

α3，α4｜=0，向量组α1，α2，α3，α4线性相关，但a=2时仍有行列式｜

α1，α2，α3，α4｜=0，所以a=8是向量组α1，α2，α3，α4线性相关的

充分而非必要条件。知识模块：线性代数

4．设A，B为n阶方阵，P，Q为n阶可逆矩阵，下列命题不正确的是()

A．若B=AQ，则A的列向量组与B的列向量组等价。

B．若B=PA，则A的行向量组与B的行向量组等价。

C．若B=PAQ，则A的行(列)向量组与B的行(列)向量组等价。

D．若A的行(列)向量组与矩阵B的行(列)向量组等价，则矩阵A与B等价。

正确答案：C

解析：将等式B=AQ中的A、B按列分块，设A=(α1，α2，…，αn)，B=(β

1，β2，…，βn)，则有(β1，β2，…，βn)=(α1，α2，…，αn)表明向量组

β1，β2，…，βn可由向量组α1，α2，…，αn线性表示。由于Q可逆，从

而有A=BQ-1，即(α1，α2，…，αn)=(β1，β2，…，βn)Q-1，表明向量组

α1，α2，…，αn可由向量组β1，β2，…，βn线性表示，因此这两个向量

组等价，故选项A的命题正确。类似地，对于PA=B，将A与B按行分块

可得出A与B的行向量组等价，从而选项B的命题正确。下例可表明选项

C的命题不正确。设A=，则P、Q均为可逆矩阵，且但B的行(列)向量组与

A的行(列)向量组不等价。对于选项D，若A的行(列)向量组与B的行(列)

向量组等价，则这两个向量组的秩相同，从而矩阵A与B的秩相同，故矩阵A

与B等价(两个同型矩阵等价的充分必要条件是秩相等)。知识模块：线性代数

5．已知α1=(1，1，-1)T，α2=(1，2