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第十章

重积分

二重积分在极坐标下的计算公式

（在积分中注意使用对称性）

复习

目的要求

主要内容

第四节重积分的应用

二、曲面的面积

了解用元素法的条件与计算步骤，会用二重积分求曲面的面积、平面质量薄片的质心与转动惯量

一、元素法及立体体积

三、平面薄板的质心

四、转动惯量

问题的提出

1.能用重积分解决的实际问题的特点

所求量是

对区域具有可加性

从重积分定义出发建立积分式

用微元分析法(元素法)

分布在有界闭域上的整体量

3.解题要点

画出积分区域、选择坐标系、确定积分序、

定出积分限、计算要简便

2.用重积分解决问题的方法

一、元素法及立体体积

条件：设所求的量U满足

1、与一个二元函数f及平面区域D有关

2、U关于D具有可加性

则量U可用二重积分求得，过程为：

1、在D上取元素，并计算元素

2、所求的量为

如：平面区域面积A

如：空间域的体积V

P155T8

【例1】

交线往xoy面上投影,得积分区域:

由可得

交线:

【例2】

1.设曲面的方程为：

在D上偏导数连续

设光滑曲面

则面积A可看成曲面上各点

处小切平面的面积dA无限积累而成.

设它在D上的投影为d,

(称为曲面S的面积元素)

则

二、曲面的面积

故有曲面面积公式

即

2.若光滑曲面方程为

则有

3.若光滑曲面方程为

则有

解:

投影区域为：

【例3】

【例4】

【解】

在D上无界

于是半个球面的面积为

整个球面的面积为

三、平面薄板的质心

如图所示，薄片静距元素：

当薄片是均匀的，重心称为形心.此时

所以薄片的静距为：

薄片的质心为：

解

由对称性知：

所求形心坐标为

【例5】

薄片关于轴对称

解：

【例5】

四、转动惯量

设对x轴转动惯量为Ix

则

同理可得：

平面薄片关于坐标轴的转动惯量

如图所示

对y轴转动惯量为Iy：

解

【例6】

元素法

物理应用：平面薄板的的质心、转动惯量、

小结

几何应用：曲面的面积，立体的体积

作业

P175:2;4；9；13