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根与系数的关系知识点与综合应用

一、一元二次方程根与系数的关系

（1）若方程20，x，

axbxc(a≠0)的两个实数根是x

12

bc

则x+x=-，xx=

1212

aa

（2）若一个方程的两个根为x,，x，那么这个一元二次方程为

12



2

axxxxxx0(a≠0)

1212

二、根与系数的关系的应用：

（1）验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；

（2）判别一元二次方程两根的符号。

例1：不解方程，判别方程两根的符号。

分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出

根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定

或的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定或的

正负情况。

解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0

∴方程有两个不相等的实数根。

设方程的两个根为，∵＜0

∴原方程有两个异号的实数根。

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说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合

起来进行确定，另外由于本题中＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞

0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。

（3）求根与未知数字母系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关

系求出另一个数与未知数字母系数.

例2：已知方程的一个根为2，求另一个根与的值。

分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求

出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的

关系求出另一个根与的值。

解法一：把代入原方程，得：

即

解得当时，原方程均可化为：，解得：

∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。

解法二：设方程的另一个根为，根据题意，利用韦达定理得：

，

∵，∴把代入，可得：

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∴把代入，可得：，

即解得

∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。

说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。

（4）求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于x和x的代数

12

式的值，

根与系数关系常用的转化关系：

11xx

x+x=(x+x)-2xx；12；（x+a）(x+a)=xx+a(x+x)+a；

2222



=

121212121212

xxxx