2025年高考数学一轮复习之复数.docx

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2025年高考数学一轮复习之复数

一．选择题（共8小题）

1．已知复数z=i1+i-

A．-12 B．12 C．-1

2．在复数范围内，z1，z2是方程z3+z2+z+1＝0的两个不同的复数根，则|z1﹣z2|的值为（）

A．1 B．2 C．2 D．2或2

3．若复数a+3i2+

A．-32 B．32 C．-2

4．复数i(1+

A．-417-117i B．-417

5．已知z满足|z﹣1|＝|z﹣i|，且z在复平面内对应的点为（x，y），则（）

A．x+y＝0 B．x﹣y＝0 C．x﹣y+1＝0 D．x+y+1＝0

6．已知复数z满足（1+i）z＝i（i为虚数单位），则|z|＝（）

A．55 B．22 C．2 D

7．已知复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣2），则z?z=

A．﹣3 B．3 C．4 D．5

8．在复平面内，复数z对应的点的坐标为（1，﹣1），则z2

A．45-25i B．25-4

二．填空题（共5小题）

9．i是虚数单位，则复数4+3i2-i=

10．若复数z1，z2是方程x2﹣2x+10＝0的两根，则z12+z

11．已知复数z=1+ii，则z?z

12．在复平面内，复数z1和z2对应的点分别为A，B，则z1?z2＝．

13．已知复数z=2cosθ+isinθ1+i(θ∈

三．解答题（共7小题）

14．高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数z＝a+bi对应复平面内的点Z，设∠XOZ＝θ，|OZ|＝r，则任何一个复数z＝a+bi都可以表示成：z＝r（cosθ+isinθ）的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中r是复数z的模，θ称为复数z的辐角，若0≤θ＜2π，则θ称为复数z的辐角主值，记为argz．复数有以下三角形式的运算法则：若zi＝ri（cosθi+isinθi），i＝1，2，…n，则：z1?z2?…?zn＝r1r2…rn[cos（θ1+θ2+…+θn）+isin（θ1+θ2+…+θn）]，特别地，如果z1＝z2＝…zn＝r（cosθ+isinθ），那么[r（cosθ+isinθ）]n＝rn（cosnθ+isinnθ），这个结论叫做棣莫弗定理．请运用上述知识和结论解答下面的问题：

（1）求复数z＝1+cosθ+isinθ，θ∈（π，2π）的模|z|和辐角主值argz（用θ表示）；

（2）设n≤2024，n∈N，若存在θ∈R满足（sinθ+icosθ）n＝sinnθ+icosnθ，那么这样的n有多少个？

（3）求和：S＝cos20°+2cos40°+3cos60°+…+2034cos2034×20°．

15．在复数集中有这样一类复数：z＝a+bi与z=a﹣bi（a，b∈R），我们把它们互称为共轭复数，b≠0

（1）z+z=2a

（2）z-z=2bi（当b≠

（3）z=z?z∈

（4）(z

（5）z?z=

（6）两个复数和、差、积、商（分母非零）的共轭复数，分别等于两个复数的共轭复数的和、差、积、商．

请根据所学复数知识，结合以上性质，完成下面问题：

（1）设z≠i，|z|＝1．求证：z1+

（2）已知|z1|＝3，|z2|＝5，|z1﹣z2|＝7，求z1

（3）设z＝x+yi，其中x，y是实数，当|z|＝1时，求|z2﹣z+1|的最大值和最小值．

16．我们把a0+a1x+a2x2+…+anxn＝0（其中an≠0，n∈N*）称为一元n次多项式方程．

代数基本定理：任何复系数一元n（n∈N*）次多项式方程（即a0，a1，a2，…，an为实数）在复数集内至少有一个复数根；由此推得，任何复系数一元n（n∈N*）次多项式方程在复数集内有且仅有n个复数根（重根按重数计算）．

那么我们由代数基本定理可知：任何复系数一元n（n∈N*）次多项式在复数集内一定可以分解因式，转化为n个一元一次多项式的积．

即a0+a1x+a2x2+?+anxn=an(x-α1)k1(x-α2)k2?(x-αm)km，其中k，m∈N*，

进一步可以推出：在实系数范围内（即a0，a1，a2，…，an为实数），方程a0+a1x+a2x2+…+anxn＝0的有实数根，则多项式a0+a1x+a2x2+…+anxn必可分解因式．例如：观察可知，x＝1是方程x3﹣1＝0的一个根，则（x﹣1）一定是多项式x3﹣1的一个因式，即x3﹣1＝（x﹣1）（ax2+bx+c），由待定系数法可知，a＝b＝c＝1．

（1）解方程：x3﹣2x+1＝0；

（2）设f（x）＝a0+a1x+a2x2+a3x3，其中a0，a1，a2，a3∈R+，且a0+a1+a2+a3＝1．

（i）分解因式：x﹣（a0+a1x+a2x2+a3x3）；

（ii）记点P（x0，y0）是y＝f（x）的图象与直线y＝x在第一