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名师第十五讲平行四边形

平行四边形是一类特殊的四边形，它的特殊性体现在边、角、对角线上，矩形、菱形是特殊的平行四

边形，矩形的特殊性体现在有一个角是直角，菱形的特殊性体现在邻边相等，所以，它们既有平行四边形

的性质，又有各自特殊的性质．

对角线是解决四边形问题的常用线段，对角线本身的特征又可以决定四边形的形状、大小，连对角线

后，平行四边形就产生特殊三角形，因此解平行四边形相关问题时，既用到全等三角形法，特殊三角形性

质，又要善于在乎行四边形的背景下探索问题，利用平行四边形丰富的性质为解题服务．

熟悉以下基本图形、基本结论：

例题求解

【例1】如图，在矩形ABCD中，已知AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于

F，那么PE+PF的值为．

(全国初中数学联赛试题)

思路点拨分别求出PE、PF困难，△AOD为等腰三角形，若联想“到等腰三角形底边上任一点到两腰

距离的和等于腰上的高”这一性质，则问题迎刃而解．

注特殊与一般是对立统一的，在一定条件下可以互相转化，相对于一般而言，特殊的事物往往更简

单、更直观、更具体．因而人们常常通过特殊去认识一般；另一方面，一般概括了特殊，一般比特殊更为

深刻地反映着事物的本质，所以人们也往往通过一般去了解特殊．

一般与特殊，是知识之间联系的一种重要形式，知识常常在一般到特殊或特殊到一般的变化过程中，

不斩地得到延伸与拓展．

【例2】已知四边形ABCD，从下列条件中：(1)AB∠CD，(2)BC∥AD；(3)AB=CD；（4）BC=AD；(5)∠

A=∠C；(6)∠B=∠D．

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任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有（）

A．4种B．9种C．13种D．15种

(山东省竞赛题)

思路点拨根据平行四边形的判定方法及新的组合方式判定．

【例3】】如图，在△ADC中，∠DAC=90°，AD⊥BC，DC、AF分别是∠ABC、∠DAC的平分线，BE和AD

交于G，求证：GF∥AC．

(湖北省荆州市中考题)

思路点拨从角的角度证明困难，连结CF，在四边形AGFE的背景下思考问题，证明四边形AGFE为特

殊平行四边形，证题的关键是能分解出直角三角形中的基本图形．

【例4】如图，设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，PG

⊥EF于G点，延长GP并在其延长线上取一点D，使得PD＝PC，求证：BC⊥BD，且BC=BD．

(全国初中数学联赛试题)

思路点拨尽管图形复杂，但证明目标明确，只需证明△CPB≌△DPB，应从图中分离出特殊三角形、

特殊四边形，充分运用它们的性质为证题服务．

【例5】如图，在等腰三角形ABC中，延长边AB到点D，延长边CA到点E，连结DE，恰有AD=BC=CE=DE．求

∠BAC的度数．

(北京市竞赛题)

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思路点拨题设条件给出的是线段的等量关系，要求的却是角的度数，相等的线段可得到全等三角形、

特殊三角形，为此需通过构造平行四边形改变它们的位置．

注课本中平行四边形的判定定理是从边、角、对角线三个方面探讨的，一般情况是，从四边形边、角、

对角线三类元素任意选取两类，任意组合就产生许多判定平行四边形的命题．其中有真命题与假命题，对

于假命题，要善于并熟悉构造反例．

构造反例是学习数学的一种重要技能，可以帮助我们理解概念．培养推理能力，数学史上就曾有许多

著名的论断被一个巧妙的反例推翻的实例．

若题设条件中有彼此平行的线段或造成平行的因素，则通过作平行线，构造平行四边形，这是解四边

形问题的常用技巧，这是由于平行四边形能使角的位置更理想，送线段到恰当的地方，使线段比良性传递．

学力训练

1．如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行