江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题（含答案解析）.docx

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江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．已知数据3，7，a，6的平均数是4，则这组数据的标准差为（????）

A． B． C． D．

3．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，A表示事件“第一次抛掷，骰子正面向上的点数是3”，B表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是4”，C表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是7”，则（????）

A．A与B互斥 B．B与C互为对立 C．A与B相互独立 D．A与C相互独立

4．已知两个不重合的平面，，三条不重合的直线a，b，c，则下列四个命题中正确的是（????）

A．若，，则 B．若，，则

C．，，，，则 D．，，，则

5．已知，则（????）

A． B． C． D．

6．已知非零向量，满足，且，则向量，的夹角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

7．如图，正方体的棱长为3，线段上有两个动点E，F，且，则三棱锥的体积是（????）

A． B． C． D．

8．如图是古希腊数学家波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角三角形ABC的斜边AB，直角边BC，AC，N为AC的中点，点D在以AC为直径的半圆上，已知，，则以直角边AC，BC为直径的两个半圆的面积之比为（????）

A．16∶9 B．144∶25 C．225∶64 D．160∶81

二、多选题

9．已知复数，，下列说法正确的是（????）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

10．已知向量，，，下列说法正确的是（????）

A．若，则

B．与一定不是平行向量

C．的最大值为

D．若，且在上的投影向量为，则与的夹角为

11．如图，四边形ABCD是边长为2a的正方形，点E，F分别为边BC，CD的中点，将，，分别沿AE，EF，FA折起，使B，C，D三点重合于点P，则（????）

A．AP⊥EF

B．点P在平面AEF内的射影为的外心

C．二面角的正弦值为

D．四面体的外接球的体积为

三、填空题

12．在正四棱台中，，则该棱台的体积为．

13．甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为，那么三人中恰有两人合格的概率是．

14．如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是.

四、解答题

15．已知复数．

(1)若，求；

(2)若，且是纯虚数，求．

16．某学校承办了2024年某次大型体育比赛的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．

(1)求a、b的值，并估计这100名候选者面试成绩的中位数；

(2)在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两个来自同一组概率．（要求列出样本空间进行计算）

17．如图，在直三棱柱中，M为棱AC的中点，，．

(1)求证：平面；

(2)求证：平面．

18．如图，已知中，，，，M，N为线段上两点，且．

(1)若，求的值；

(2)设，试将的面积S表示为的函数，并求其最大值．

(3)若，求的值．

19．已知如图一，在矩形ABCD中，，．将沿BD折起，得到大小为的二面角．

(1)当时，求与平面BCD所成角的正切；

(2)当时，求B到平面的距离；

(3)①当，求的值；

②如图二，在三棱锥中，已知，，，二面角的大小为，试直接写出利用，，的三角函数表示的结论，不需要证明．

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参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

C

D

D

C

A

A

B

ACD

ABD

题号

11

答案

AD

1．B

【分析】根据复数的几何意义，利用圆上点到定点距离的最值的求法得解.

【详解】因为复数z满足，

所以复数对应的点的轨迹为单位圆，圆心为原点，半径，

圆心到复数对应的点的距离为，

所以的最大值为.

故选：B

2．C

【分析】根据平均值求出，再由方差公式计算即可得解.

【详解】由题意