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第8讲函数奇偶性与周期性

一、基础自测

1．(多选)下列函数是奇函数的是()

A．f(x)＝2x4＋3x2 B．f(x)＝x3－2x

C．f(x)＝x＋eq\f(1,x) D．f(x)＝eq\f(1,x2)

2．若一个奇函数的定义域为{－1，2，a，b}，则a＋b＝()

A．－1 B．1

C．0 D．2

3．已知奇函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，且有最大值m，下列说法正确的是()

A．函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上单调递减，且f(－b)＝－m

B．函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上单调递减，且f(－a)＝－m

C．函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上单调递增，且f(－b)＝－m

D．函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上单调递增，且f(－a)＝－m

4．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－2)的值是____．

5．已知f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－4x2＋2，－1≤x＜0，,x，0≤x＜1，))则f＝____．

二、知识梳理

1．奇偶性与周期性

奇偶性

定义

若____，则f(x)为偶函数；若____，则f(x)为奇函数．

这两个式子有意义的前提条件是：定义域关于原点对称．

性质

①奇函数的图象关于____对称，偶函数的图象关于____对称；

②若奇函数的定义域包含0，则必有f(0)＝____；

③在关于y轴对称的两个区间内，奇函数单调性____，偶函数单调性____．

④一般地：奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇×奇＝偶；偶×偶＝偶；奇×偶＝奇，除法相同．

周期性

定义

对定义域内任意x，存在非零常数T，使____成立，则T为f(x)的周期．

结论

对于f(x)定义域内任一自变量的值x：

①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0).

②若f(x＋a)＝eq\f(1,f(x))，则T＝2a(a＞0).

③若f(x＋a)＝－eq\f(1,f(x))，则T＝2a(a＞0).

三、聚焦考点，精讲精练

考向1函数奇偶性的判定

例1判断下列函数的奇偶性．

(1)f(x)＝x3－eq\f(1,x)；

(2)f(x)＝eq\r(x2－1)＋eq\r(1－x2)；

(3)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2，x＞0，,0，x＝0，,－x2－2，x＜0；))

(4)f(x)＝loga(mx＋eq\r(m2x2＋1))(m≠0)；

(5)f(x)＝logaeq\f(m＋x,m－x)(m≠0)；

(6)f(x)＝eq\f(ax＋1,ax－1)(a＞0且a≠1).

经验总结

判断函数奇偶性的步骤是：①求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称，若不对称，则既不是奇函数也不是偶函数；②验证f(－x)是否等于±f(x)，或验证其等价形式f(x)±f(－x)＝0或eq\f(f(－x),f(x))＝±1(f(x)≠0)是否成立．

变式(1)设函数f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)，则下列函数为奇函数的是()

A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1

C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1

(2)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3＋1，x＞0，,ax3＋b，x＜0))为偶函数，则2a＋b＝()

A．3 B．eq\f(3,2)

C．－eq\f(1,2) D．－eq\f(3,2)

考向2函数奇偶性的应用

例2(1)已知奇函数f(x)的定义域为R，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－eq\f(2024,x)－m，若f(－2024)＋f(0)＝2，则实数m＝____．

(2)已知函数f(x)＝log2(|x|＋1)，若f(log2x)＜f(2)，则实数x的取值范围是____．

(3)已知定义域为R的函数f(x)＝a＋eq\f(3sinx,2＋cosx)(a，b∈R)有最大值和最小值，且最大值与最小值的和为6，则a＝____．

经验总结

函数奇偶性的应用主要有：利用奇偶性求函数值；利用奇偶性求参数；利用奇偶性求解析式等．

变式1．若函数f(x)＝x(aex－e－x)是偶函数，则a＝____．

2．已知函数f(x)＝ax3－bx－tanx＋2，若f(m)＝1，则f(－m)＝____．

3．已知奇函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－3－x，x＜0，,g