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倒立摆系统的控制器设计

一、引言

支点在下，重心在上，恒不稳定的系统或装置的叫倒立摆。倒立摆控制系

统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各

种控制实验的理想实验平台。

1.1问题的提出

倒立摆系统按摆杆数量的不同，可分为一级，二级，三级倒立摆等，

多级摆的摆杆之间属于自有连接（即无电动机或其他驱动设备）。对倒立摆

系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性

问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来

检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。

倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没

有大的振荡和过大的角度和速度。当摆杆到达期望的位置后，系统能克服

随机扰动而保持稳定的位置。

1.2倒立摆的控制方法

倒立摆系统的输入来自传感器的小车与摆杆的实际位置信号，与期望

值进行比较后，通过控制算法得到控制量，再经数模转换驱动直流电机实

现倒立摆的实时控制。直流电机通过皮带带动小车在固定的轨道上运动，

摆杆的一端安装在小车上，能以此点为轴心使摆杆能在垂直的平面上自由

地摆动。作用力u平行于铁轨的方向作用于小车，使杆绕小车上的轴在竖

直平面内旋转，小车沿着水平铁轨运动。当没有作用力时，摆杆处于垂直

的稳定的平衡位置（竖直向下）。为了使杆子摆动或者达到竖直向上的稳定，

需要给小车一个控制力，使其在轨道上被往前或朝后拉动。

本次设计中我们采用其中的牛顿－欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的

数学模型，然后通过开环响应分析对该模型进行分析，并利用学习的古典控制理

论和Matlab/Simulink仿真软件对系统进行控制器的设计，主要采用根轨迹法，

频域法以及PID（比例-积分-微分）控制器进行模拟控制矫正。

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倒立摆系统的控制器设计

2直线倒立摆数学模型的建立

直线一级倒立摆由直线运动模块和一级摆体组件组成，是最常见的倒立摆之

一，直线倒立摆是在直线运动模块上装有摆体组件，直线运动模块有一个自由度，

小车可以沿导轨水平运动，在小车上装载不同的摆体组件。

系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。实验建模就是通过在研究对

象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测

其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。这里面包括输入

信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。

鉴于小车倒立摆系统是不稳定系统，实验建模存在一定的困难。因此，本文

通过机理建模方法建立小车倒立摆的实际数学模型，可根据微分方程求解传递函

数。

1.3微分方程的推导（牛顿力学方法）

微分方程的推导在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系

统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图1所示。做以下假设：

M小车质量