考研数学一(线性代数)模拟试卷103(题后含答案及解析).pdfVIP

考研数学一（线性代数）模拟试卷103(题后含答案及解析)

题型有：1.选择题2.填空题3.解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设α1，α2，α3，β1，β2都是四维列向量，且|A|=|α1，α2，α3，

β1|=m，=|α1，α2，β2，α3|=n，则|α3，α2，α1，β1+β2|为()．

A．m+n

B．m－n

C．－(m+n)

D．n－m

正确答案：D

解析：|α3，α2，α1，β1+β2|=|α3，α2，α1，β1|+|α3，α2，α1，

β2|=－|α1，α2，α3，β1|－|α1，α2，α3，β2|=－|α1，α2，α3，β1|+|

α1，α2，β2，α3|=n－m，选(D)．知识模块：线性代数

2．设A为n阶矩阵，A2=A，则下列成立的是()．

A．A=0

B．A=E

C．若A不可逆，则A=0

D．若A可逆，则A=E

正确答案：D

解析：因为A2=A，所以A(E－A)=O，由矩阵秩的性质得r(A)+r(E－A)=n，

若A可逆，则r(A)=n，所以r(E－A)=0，A=E，选(D)．知识模块：线性代数

3．设矩阵A=(α1，α2，α3，α4)经行初等变换为矩阵B=(β1，β2，β

3，β4)，且α1，α2，α3线性无关，α1，α2，α3，α4线性相关，则()．

A．β4不能由β1，β2，β3线性表示

B．β4能由β1，β2，β3线性表示，但表示法不唯一

C．β4能由β1，β2，β3线性表示，且表示法唯一

D．β4能否由β1，β2，β3线性表示不能确定

正确答案：C

解析：因为α1，α2，α3线性无关，而α1，α2，α3，α4线性相关，所

以α4可由α1，α2，α3唯一线性表示，又A=(α1，α2，α3，α4)经过有限

次初等行变换化为B=(β1，β2，β3，β4)，所以方程组x1α1+x22+x3α3=α4

与x11+x2β2+x3β3=β4是同解方程组，因为方程组x1α1+x2α2+x3α3=α4

有唯一解，所以方程组x1β1+x2β2+x3β3=β4有唯一解，即β4可由β1，β2，

β3唯一线性表示，选(C)．知识模块：线性代数

4．设A，B是满足AB=O的任意两个非零阵，则必有()．

A．A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关

B．A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关

C．A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关

D．A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关

正确答案：A

解析：设A，B分别为m×n及n×S矩阵，因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤n，

因为A，B为非零矩阵，所以r(A)≥1，r(B)≥1，从而r(A)＜n，r(B)＜n，故A

的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关，选(A)．知识模块：线性代数

5．设A是m×n阶矩阵，B是n×m阶矩阵，则()．

A．当m＞n时，线性齐次方程组ABX=0有非零解

B．当m＞n时，线性齐次方程组ABX=0只有零解

C．当n＞m时，线性齐次方程组ABX=0有非零解

D．当n＞m时，线性齐次方程组ABX=0只有零解

正确答案：A

解析：AB为m阶方阵，当m＞n时，因为r(A)≤n，r(B)≤n且r(AB)≤min{r(A)，

r(B)}，所以r(AB)＜m，于是方程组ABX=0有非零解，选(A)．知识模块：线

性代数

6．设A，B为n阶矩阵，且A，B的特征值相同，则()．