2023-2024学年北京理工大学附中高二（上）期中数学试卷【答案版】.docxVIP

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2023-2024学年北京理工大学附中高二（上）期中数学试卷

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的正方形，则原图形的周长是（）

A．16 B．12 C．4+82 D．

2．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）

A．m?α，n?α，m∥β，n∥β?α∥β B．n∥m，n⊥α?m⊥α

C．m⊥α，m⊥n?n∥α D．α∥β，m?α，n?β?m∥n

3．如图所示，圆柱与圆锥的组合体，已知圆锥部分的高为12，圆柱部分的高为2，底面圆的半径为1

A．π3 B．2π C．13π6 D

4．已知a→，b→，c→

A．3a→，a→-b→，a→+2b→ B．2b→

C．a→，2b→，b→-c→ D

5．已知x，y∈R，向量a→=(x，1，1)，b→=(1，

A．22 B．23 C．4 D

6．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB1与平面ACC1A1所成的角为（）

A．30° B．45° C．60° D．90°

7．已知点P是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱A1D1上的一个动点，设异面直线AB与CP所成的角为α，则cosα的最小值是（）

A．33 B．23 C．255

8．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（）

A．CC1与B1E是异面直线 B．AC⊥平面ABB1A1

C．AE与B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1 D．A1C1∥平面AB1E

9．在正三棱锥P﹣ABC中，O是△ABC的中心，PA＝AB＝2，则PO→

A．59 B．63 C．423

10．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为（）

A．455 B．2 C．22

二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.

11．设向量AB→=(1，2，4)，CD→=(m，

12．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，则C1到平面A1BD的距离为．

13．已知直线m，n的方向向量分别为a→=(1，-2，2)，b→=(1，

14．在古代数学中，把正四棱台叫做方亭，数学家刘徽用切割的方法巧妙地推导出了方亭的体积公式V=13(a2+ab+b2)h，a为方亭的下底面边长，b为上底面边长，h为高．某地计划在一片平原地带挖一条笔直的沟渠，渠的横截面为等腰梯形，上底为10米，下底为6米，深2米，长为837.5

15．已知圆锥的底面半径为23，高为2，S为顶点，A，B为底面圆周上的两个动点，则下列说法正确的是

①圆锥的体积为8π；

②圆锥侧面展开图的圆心角大小为3π

③圆锥截面SAB面积的最大值为43

④若圆锥的顶点和底面上的所有点都在一个球面上，则此球的体积为2563

三、解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

16．（10分）设x，y∈R，向量a→=（x，1，1），b→=（1，y，1），c→=（2，﹣4，

（1）求|a

（2）求向量a→+b

17．（10分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为2，M、N分别为A1B、AC的中点．

（1）证明：MN∥平面BCC1B1；

（2）求A1B与平面A1B1CD所成角的大小．

18．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝CC1，M为AB的中点，D在A1B1上且A1D＝3DB1．

（1）求证：平面CMD⊥平面ABB1A1；

（2）求直线CM与平面CBD所成角的正弦值；

（3）求二面角B﹣CD﹣M的余弦值．

19．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且AB＝2，∠ABC＝2∠BAD，∠PDC=π2，点M为棱

（1）在棱BC上是否存在一点N，使得CM∥平面PAN，并说明理由；

（2）若PB⊥AC，二面角B﹣CM﹣D的余弦值为66时，求点A到平面BCM

2023-2024学年北京理工大学附中高二（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的正方形，则原图形的周长是（）

A．16 B．12 C．4+82 D．

解：设原图形的四边形为OABC，

则根据斜二测法规则及题意可知：

原图形中|OB|＝42，|OA|＝2，

又原图形中OB⊥