课标专用5年高考3年模拟A版2024高考数学第五章平面向量2平面向量的数量积及平面向量的应用试题文.docxVIP

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平面对量的数量积及平面对量的应用

挖命题

【考情探究】

考点

内容解读

5年考情

预料热度

考题示例

考向

关联考点

平面对量

的数量积

①理解平面对量数量积的含义及其物理意义;②驾驭向量夹角概念及其范围,驾驭向量长度的表示;③了解平面对量的数量积与向量投影的关系;④驾驭数量积的坐标表达式,会进行平面对量数量积的运算;⑤理解数量积的性质,并能运用

2024课标全国Ⅱ,4,5分

平面对量的数量积

模长

★★★

2024课标Ⅱ,4,5分

平面对量的数量积

坐标运算

平面对量

数量积

的应用

①能运用数量积解决两向量的夹角问题和长度问题;②会用数量积推断两个向量的平行、垂直关系;③会用向量方法解决某些简洁的平面几何问题、力学问题与一些实际问题

2024课标全国Ⅰ,13,5分

两向量垂直的充要条件

坐标运算

★★☆

2024课标全国Ⅲ,13,5分

两向量垂直的充要条件

坐标运算

2024课标全国Ⅲ,3,5分

平面对量的夹角

平面对量的数量积、坐标运算

分析解读从近几年的高考试题来看,高考对本节内容的考查以选择题和填空题为主,考查平面对量的数量积及其几何意义以及坐标表示,用以解决有关长度、角度、垂直、推断三角形形态等问题;考查形式除小题之外,还可能是与函数、解析几何等学问综合在一起形成的解答题,主要考查学生的审题实力和学问迁移实力,难度适中.

破考点

【考点集训】

考点一平面对量的数量积

1.(2025届湖南长沙雅礼中学9月月考,4)已知a,b为单位向量,其夹角为60°,则(2a-b)·b=()

A.-1 B.0 C.1 D.2

答案B

2.已知点A,B,C满意|AB|=3,|BC|=4,|CA|=5,则AB·BC+BC·CA+CA·AB的值为.?

答案-25

3.(2024天津,13,5分)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.点E和F分别在线段BC和DC上,且BE=23BC,DF=16DC,则AE·

答案29

考点二平面对量数量积的应用

1.(2024云南玉溪一中期中,9)在△ABC中,若动点P满意CA2-CB2+2AB·CP=0,则点P的轨迹

A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心

答案A

2.(2025届广东普宁一中10月月考,14)已知|OA|=2,|OB|=4,OA·OB=4,则以向量OA,OB为邻边的平行四边形的面积为.?

答案43

3.(2025届湖北黄冈9月调研,15)已知平面对量m,n的夹角为π6,且|m|=3,|n|=2,在△ABC中,AB=2m+2n,AC=2m-6n,D为BC的中点,则|AD|=

答案2

4.(2025届广东深圳外国语中学10月模拟,17)设向量a=(4cosα,sinα),b=(sinβ,4cosβ),c=(cosβ,-4sinβ).

(1)若a与b-2c垂直,求tan(α+β)的值;

(2)求|b+c|的最大值.

解析(1)∵a与b-2c垂直,

∴a·(b-2c)=4cosαsinβ-8cosαcosβ+4sinαcosβ+8sinα·sinβ=4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,

∴tan(α+β)=2.

(2)由b+c=(sinβ+cosβ,4cosβ-4sinβ),得|b+c|=(sinβ+cosβ)

当且仅当sin2β=-1,即β=kπ-π4(k∈Z

所以|b+c|的最大值为42.

炼技法

【方法集训】

方法1平面对量模长的求解方法

1.(2024河北“五个一名校”联盟模拟,4)已知向量a,b满意:|a|=2,|b|=4,a,b=π3,则|3a-2b

A.52 B.213 C.15 D.23

答案B

2.(2025届湖南湖北八市十二校第一次调研,2)已知向量a=(x,y),b=(-1,2),且a+b=(1,3),则|a-2b|等于()

A.1 B.3 C.4 D.5

答案D

3.已知向量a=(-1,2),b=(3,-6),若向量c满意c与b的夹角为120°,c·(4a+b)=5,则|c|=()

A.1 B.5 C.2 D.25

答案D

方法2平面对量夹角的求解方法

1.(2024课标全国Ⅲ,3,5分)已知向量BA=12,32,

A.30° B.45° C.60° D.120°

答案A

2.(2024江西七校联考,13)已知向量a=(1,3),b=(3,m),且b在a的方向上的投影为-3,则向量a与b的夹角为.?

答案23

3.(2024吉林九校联考,14)已知e1,e2是夹角为120°的单位向量,a=e1