第七单元 数学广角——植树问题（讲义）-2024-2025学年五年级上册数学人教版.docx

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数学广角-植树问题

(思维导图+考点梳理+典例分析+高频考题+答案解析)

一、引入

在我们的生活中，常常会遇到与植树相关的问题。比如在一条道路边植树、在一个花园周围植树等。这些问题看似简单，却蕴含着有趣的数学规律。

二、知识点讲解

1、两端都栽树的情况

间隔数与棵数的关系：棵数=间隔数+1。

例如：在一条长20米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端都栽）。

首先计算间隔数：20÷5=4。

因为两端都栽树，所以棵数为：4+1=5（棵）。

2、两端都不栽树的情况

间隔数与棵数的关系：棵数=间隔数-1。

例如：在一条长20米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端都不栽）。

间隔数依然是：20÷5=4。

两端都不栽树，棵数为：4-1=3（棵）。

3、只栽一端的情况

间隔数与棵数的关系：棵数=间隔数。

例如：在一条长20米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（只栽一端）。

间隔数为：20÷5=4。

只栽一端，棵数也是4棵。

4、封闭路线上的植树问题

在封闭路线上植树，棵数与间隔数相等。

例如：在一个圆形花园周围植树，花园周长为30米，每隔6米栽一棵。

因为是封闭路线，所以棵数等于间隔数，30÷6=5（棵）。

三、解题方法

1、明确问题类型

首先要确定是属于两端都栽、两端都不栽、一端栽一端不栽还是封闭图形的植树问题。

2、计算间隔数

根据题目所给的总长度和间隔长度，计算出间隔数。间隔数=总长度÷间隔长度。

3、确定棵数

根据不同类型的植树问题，利用相应的公式确定棵数。

【典例1】园林工人沿一条笔直的公路一侧植树（两端都植），计划每隔6米种一棵，一共需要种36棵．如果改为每隔5米种一棵，需要多少棵树？

【答案】见试题解答内容

【分析】根据植树问题公式：如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，即：棵数＝间隔数+1．先根据植树棵数计算这条路的长度：（36﹣1）×6＝210（米），然后计算每隔5米种一棵，可以种的棵数：210÷5+1＝43（棵）．据此解答．

【解答】解：（36﹣1）×6

＝35×6

＝210（米）

210÷5+1

＝42+1

＝43（棵）

答：如果改为每隔5米种一棵，需要43棵．

【点评】本题主要考查植树问题，关键分清植树棵数与间隔数的关系．

【典例2】学校走廊长200米，走廊的两侧都放一些花（只放一端），已知从第一盆花到第五盆花共长80米，照这样计算，走廊两侧共放了多少盆花？

【答案】见试题解答内容

【分析】根据题意，已知从第一盆花到第五盆花共长80米，属于植树问题中两端都植的情况，利用公式：间隔数＝植树棵数﹣1，先计算间距：80÷（5﹣1）＝20（米）．

然后根据植树问题中一端都植的情况，利用公式：植树棵数＝间隔数，先计算每边放花的盆数：200÷20＝10（盆）．两侧都放，则需要：10×2＝20（盆）．

【解答】解：80÷（5﹣1）

＝80÷4

＝20（米）

200÷20＝10（盆）

10×2＝20（盆）

答：走廊两侧共放了20盆花．

【点评】如果植树线路只有一端要植树，那么植树的棵数和要分的段数相等，即：棵数＝间隔数．

如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，即：棵数＝间隔数+1．

【典例3】新杨村新修一个长方形的人工湖，长150米，宽90米，现要在人工湖四周等距离安装路灯，每两盏灯之间的距离要尽可能大，并且四个顶点都要装灯。一共需要安装多少盏路灯？

【答案】见试题解答内容

【分析】先确定每两盏灯之间的距离，再根据长方形的周长公式，求出长方形周长，运用在封闭线路上植树，棵数与段数相等，据此求解即可。

【解答】解：每两盏灯之间的距离是150米和90米的最大公因数30米。

（150+90）×2÷30

＝240×2÷30

＝480÷30

＝16（盏）

答：一共需要安装16盏路灯。

【点评】本题主要考查了植树问题，解题的关键是明确：在封闭线路上植树，棵数与段数相等，即：棵数＝间隔数。

【典例4】大象馆和猴山之间的小路长60m。绿化队要在这条小路两旁都栽树（两端不栽），相邻两棵树之间的距离是3m。一共要栽多少棵树？

【答案】38棵。

【分析】根据题意得出此题属于两端不栽树的问题，先求出60米里面有几个3米，再根据植树问题中两端不栽时植树棵数＝间隔数﹣1，求出小路一边栽树的棵数，进而乘2求出一共栽树的棵数。

【解答】解：（60÷3﹣1）×2

＝19×2

＝38（棵）

答：一共要栽38棵树。

【点评】本题考查了植树问题中两端不栽时植树棵数＝间隔数﹣1的应用，不要忘记乘2。

【典例5】园丁在一个直径是10米的圆形花圃内栽了一些花，平均每株花占地面积为2平方分米，沿着花