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线性代数第五章线性空间与线性变换5.1线性空间的概念矩阵的加法和乘法运算的重要特性之一是并非任意的矩阵都能实施这种运算，即矩阵加法要求参加运算的矩阵的行数和列数分别相同；矩阵乘法要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。实际上，使用这种方法时应将所有矩阵的集合分为许多特殊的集合，即矩阵子集合。例如，若矩阵A是m×n阶，则只有与其具有相同行数和列数的矩阵才能与它相加。

线性代数第五章线性空间与线性变换5.1线性空间的概念所以，从所有矩阵的集合分出的子集合只能由m×n阶的矩阵构成，这样的矩阵施行加法运算才有意义，两个m×n阶矩阵相加后得到同样行数和列数的新矩阵，这样的矩阵就构成线性空间。

线性代数第五章线性空间与线性变换5.1线性空间的概念定义5.1设V是n维实向量的非空集合，R是一个数域。如果对于向量的加法和乘法运算是封闭的，即：那么，V就称为在数域R上的线性空间。

线性代数第五章线性空间与线性变换5.1线性空间的概念凡满足八条规律的加法及乘法运算，就称为线性运算凡定义了线性运算的集合，就称向量空间

线性代数第五章线性空间与线性变换5.1线性空间的概念定义5.2设V是向量空间，W是V的非空子集合，若对于V上的加法和乘法运算，W也是向量空间，则称W为V的一个向量子空间，简称子空间。每一个线性空间至少有两个子空间，一个是它自己本身，另一个是由零元素构成的集合，称为零子空间。

线性代数第五章线性空间与线性变换5.1线性空间的概念定理5.1数域R上的线性空间V的非空子集合W形成子空间的充分必要条件是：（1）如果，那么，（此时称W对于V的加法是封闭的）。（2）如果，那么，（此时称W对于V的数乘是封闭的）。

线性代数第五章线性空间与线性变换5.2线性空间的基、维数和坐标定义5.3设V是向量空间，若是V中n个向量，若满足：（1）线性无关；（2）V中任一向量均可以由线性表示；则称是V的一组基，而称线性空间V是n维线性空间，记为：dimV=n

线性代数第五章线性空间与线性变换5.2线性空间的基、维数和坐标如选例1向量空间中的向量组，为V1的一组基。因此V1的维数为

线性代数第五章线性空间与线性变换定义5.4.1设是n维向量空间V中一组基，，且有则称为元素在基下的坐标。5.2线性空间的基、维数和坐标

线性代数第五章线性空间与线性变换5.4线性变换与矩阵设V是数域R上的一个n维线性空间，A是V上的一个线性变换，取V中的一个基，由于A，A也是V的元素，因此，可由基来线性表示，即

线性代数第五章线性空间与线性变换5.4线性变换与矩阵