考研数学三(线性代数)模拟试卷38(题后含答案及解析).pdfVIP

考研数学三（线性代数）模拟试卷38(题后含答案及解析)

题型有：1.jpg/，得属于λ3=6的线性无关特征向量ξ3=(1，一2，3)T，

涉及知识点：线性代数

已知矩阵

3．求x与y的值；

正确答案：x=0，y=1；涉及知识点：线性代数

4．求一个满足P-1AP=B的可逆矩阵P。

正确答案：P=涉及知识点：线性代数

5．设λ为可逆方阵A的一个特征值，证明：(1)为A-1的特征值；(2)为A

的伴随矩阵A*的特征值。

正确答案：由λ为A的特征值，知存在非零列向量x，使Ax=λx，由此知

λ≠0，否则λ=0，则有Ax=0，|A|=0，这与A可逆矛盾，故λ≠0．用A-1左乘

Ax=λx两端，再用为A-1的一个特征值且x为对应的特征向量。因A-1=为A*

的一个特征值且x为对应的特征向量。涉及知识点：线性代数

设3阶矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=3，对应的特征向量依次为ξ

1=(1，1，1)T，ξ2=(1，2，4)T，ξ3=(1，3，9)T，又β=(1，1，3)T

6．将向量β用ξ1，ξ2，ξ3线性表出；

正确答案：β=2ξ1—2ξ2+ξ3；涉及知识点：线性代数

7．求Anβ(n为正整数)。

正确答案：Aξi=λiξi，λinξi=λinξi(i=1，2，3)。Anβ=An(2ξ1—2ξ

2+ξ3)=2Anξ1—2Anξ2+Anξ3=2λ1nξ1一2λ2nξ2+λ3nξ3涉及知

识点：线性代数

8．设3阶实对称矩阵A的特征值为λ1=一1，λ2=λ3一1，对应于λ2

的特征向量为ξ1=(0，1，1)T，求矩阵A。

正确答案：设A的属于特征值λ2=λ3=1的特征向量为ξ=(x1，x2，x3)T，

则ξ1Tξ=x2+x3=0．解得其基础解系为ξ2=(1，0，0)T，ξ3=(0，1，一1)T，

于是得A的标准正交的特征向量，e2=ξ2，e3=涉及知识点：线性代数

已知的一个特征向量。

9．试求a，b的值及ξ所对应的特征值；

正确答案：由(λE—A)ξ=0解之得a=一3，b=0，λ=一1．涉及知

识点：线性代数

10．问A能否相似于对角矩阵?说明理由。

正确答案：A的特征值为λ1=λ2=λ3=λ3=一1，对应的线性无关特征向量

却只有1个，故A不能相似于对角矩阵。涉及知识点：线性代数

11．某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后

将熟练工支援其它生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新、老非熟练工

经过培训及实践至年终考核有成为熟练工。设第n年一月份统计的熟练工和非熟

工所占百分比分别为xn和yn，记成向量

正确答案：涉及知识点：线性代数

12．设3阶矩阵A的特征值为1，一1，0，对应的特征向量分别为α1，

α2，α3，若B=A2一2A+3E，试求B-1的特征值和特征向量。

正确答案：Bα=(A2一2A+3E)α1=A2α1一2Aα1+3α1=λ12α1—2λ1

α1+3α1=(λ12一2λ1+3)α1=2α1，类似可得Bα2=6α2，Bα3=3α3，故B

的特征值为2，6，3，对应的线性无关特征向量分别为α1，α2，α3，得B-1

的特征值为，对应的特征向量分别为k1α1，k2α2，k3α3(ki为任意非零常数，

i=1，2，3)。涉及知识点：线性代数

13．设3阶矩阵A与对角矩阵相似，证明：矩阵C=(A—λ1E)(A—λ2E)(A

—λ3E)=0．

正确答案：A=PDP-1，C=(PDP