考研数学一(线性代数)历年真题试卷汇编13(题后含答案及解析).pdfVIP

考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编13(题后含答案及解析)

题型有：1.选择题2.填空题3.解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设α1=，其中c1，c2，c3，c4为任意常数，则下列向量组线性相关的

为

A．α1，α2，α3．

B．α1，α2，α4．

C．α1，α3，α3．

D．α2，α3，α4．

正确答案：C

解析：用排除法：当c1≠0时，(A)组、(B)组都线性无关；当c3+c1≠0时，

(D)组线性无关．因此，只有选项(C)正确．知识模块：向量

2．设A，B，C均为n阶矩阵．若AB=C，且B可逆，则

A．矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价．

B．矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．

C．矩阵c的行向量组与矩阵B的行向量组等价．

D．矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价．

正确答案：B

解析：因为矩阵B可逆，所以B可以表示成若干个初等矩阵之积．而用初

等矩阵右乘矩阵相当于对矩阵施行初等列变换．经一次初等列变换，变换前与变

换后的矩阵的列向量组可以相互线性表示，经若干初等列变换，亦是如此，即变

换前与变换后矩阵的列向量组等价．所以选(B)．知识模块：向量

3．设α1，α2，α3均为3维向量，则对任意常数k，l，向量组α1+kα3，

α2+lα3线性无关是向量组α1，α2，α3线性无关的

A．必要非充分条件

B．充分非必要条件

C．充分必要条件

D．既非充分也非必要条件

正确答案：A

解析：记向量组(Ⅰ)：α1+kα3，α2+lα3；向量组(Ⅱ)：α1，α2，α3．(Ⅰ)

是由(Ⅱ)线性表出的，写成矩阵形式即是：[α1+kα3，α2+lα3]=[α1，α2，

α3]当(Ⅱ)线性无关时，矩阵[α1，α2，α3]为列满秩的，由于用列满秩阵左乘

矩阵后，矩阵的秩不变，而矩阵的秩为2，所以此时上式等号左边矩阵的秩也为

2，也就是该矩阵的列秩为2，从而知向量组(Ⅰ)线性无关，所以，(Ⅰ)线性无关

是(Ⅱ)线性无关的必要条件．但(Ⅰ)线性无关不是(Ⅱ)线性无关的充分条件，

例如当k=l=0时，(Ⅰ)线性无关即向量组α1，α2线性无关，却不能保证(Ⅱ)线

性无关．知识模块：向量

4．设咒阶方阵A的秩为r，且r＜n，则在A的n个行向量中

A．必有r个行向量线性无关．

B．任意r个行向量均可构成极大线性无关组．

C．任意r个行向量均线性无关．

D．任一行向量均可由其它r个行向量线性表示．

正确答案：A涉及知识点：向量

5．向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αm线性无关的充分条件是(Ⅰ)中

A．每个向量均不是零向量．

B．任意两个向量的分量都不成比例．

C．任一向量均不能由其余m一1个向量线性表示．

D．有一部分向量线性无关．

正确答案：C涉及知识点：向量

6．设m×n矩阵A的秩r(A)=m＜n，E为m阶单位阵，则

A．A的任意m个向量必线性无关．

B．A的任意一个m阶子式都不为0．

C．若BA=O，则B=O．

D．经初等行变换，可将A化为(Em｜O)的形式．

正确答案：C

解析：由BA=O知A的每个列向量均为齐次线性方程组Bx=0的解向量，

因r(A)=m，知A的列向量组的极大无关组含m个向量，故方程组Bx=0的基础

解系至少含m个解向量，即m一r(B)≥m，→r(B)≤0，→r(B)=0，→B=O．故(B)

正确．注意当r(A)=m＜n时，要将A化为标准形，仅仅通过初等行变换是不行

的，还要对A作初等列变换，才能化成标准形，故(D)不对。知识模块：向量

7．设有两组n维向量α1，α2，…，αm与β1，β2，…，βm，若存在

两组不全为零的数λ1，λ2，…，λm