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正交矩阵与正交变换
定义1
若
阶方阵
满足
则称
为正交矩
阵,
简称正交阵.
正交矩阵有以下几个重要性质:
即
若
是正交矩阵,
则
也是正交矩阵;
两个正交矩阵之积仍是正交矩阵;
正交矩阵的行列式等于1或-1.
证
是显然的.
因为
因此
也是正交阵.
设
与
都是
阶正交阵,
则
正交矩阵与正交变换
定义1
若
阶方阵
满足
则称
为正交矩
阵,
简称正交阵.
两个正交矩阵之积仍是正交矩阵;
正交矩阵的行列式等于1或-1.
证
设
与
都是
阶正交阵,
则
正交矩阵与正交变换
定义1
若
阶方阵
满足
则称
为正交矩
阵,
简称正交阵.
两个正交矩阵之积仍是正交矩阵;
正交矩阵的行列式等于1或-1.
证
设
与
都是
阶正交阵,
则
由正交阵的定义知
也是正交阵.
则
若
是正交阵,
而
正交矩阵与正交变换
定义1
若
阶方阵
满足
则称
为正交矩
阵,
简称正交阵.
正交矩阵的行列式等于1或-1.
证
则
若
是正交阵,
而
正交矩阵与正交变换
定义1
若
阶方阵
满足
则称
为正交矩
阵,
简称正交阵.
正交矩阵的行列式等于1或-1.
证
则
若
是正交阵,
而
又由行列式性质知
因此
即
或
定理
为正交矩阵的充要条件是
的列向量组是单
位正交向量组.
正交矩阵与正交变换
定义1
若
阶方阵
满足
则称
为正交矩
阵,
简称正交阵.
定理
为正交矩阵的充要条件是
的列向量组是单
位正交向量组.
证
设
其中
是
的列
向量组,
则
等价于
正交矩阵与正交变换
证
设
其中
是
的列
向量组,
则
等价于
正交矩阵与正交变换
证
设
其中
是
的列
向量组,
则
等价于
即
证毕.
注:
由
与
等价,
定理结论对行向量
也成立.
正交矩阵与正交变换
定义2
若
为正交矩阵,
交变换.
则线性变换
称为正
重要性质:
正交变换保持向量的长度不变.
证
设
为正交变换,
则
证毕.
完
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