2025年高考数学一轮复习之立体几何初步.docx

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2025年高考数学一轮复习之立体几何初步

一．选择题（共10小题）

1．已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为4π

A．6π B．8π C．10π D．12π

2．已知圆柱O1O2中，AD，BC分别是上、下底面的两条直径，且AD∥BC，AB＝BC＝4，若M是弧BC的中

点，N是线段AB的中点，则（）

A．AM＝CN，A，C，M，N四点不共面

B．AM≠CN，A，C，M，N四点共面

C．AM⊥BD，△ACM为直角三角形

D．AM≠CN，△ACM为直角三角形

3．某圆台上底面圆半径为1，下底面圆半径为2，母线长为2，则该圆台的体积为（）

A．7π3 B．5π3 C．2π

4．已知平面α、β，直线l?α，直线m不在平面α上，下列说法正确的是（）

A．若α∥β，m∥β，则l∥m B．若α∥β，m⊥β，则l⊥m

C．若l∥m，α∥β，则m∥β D．若l⊥m，m∥β，则α⊥β

5．已知α，β是两个平面，a，b是两条直线，则下列命题为真命题的是（）

A．若a?α，b?β，α⊥β，则a⊥b

B．若a?α，b?β，α∥β，则a∥b

C．若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β

D．若a∥α，a∥b，则b∥α

6．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下面四个命题中，正确的是（）

A．若l∥m，m?α，则l∥α

B．若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m

C．若α⊥β，l?α，m?β，则l⊥m

D．若m⊥β，l∥α，l∥m，则α⊥β

7．已知三棱锥V﹣ABC的外接球的体积为403027π，VA⊥平面

A．33 B．63 C．216

8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别是线段AB1与BC1的中点，现有如下结论：

①直线PQ与直线BC所成的角为π3

②PQ⊥BB1；

③PQ=

④PQ∥平面ABCD．

则正确结论的个数为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

9．如图，将边长为1的正△ABC以边AB为轴逆时针翻转θ弧度得到ΔABC，其中θ∈(0，π2)，构成一个三棱锥C﹣

A．(0，π6] B．(0，π4]

10．在底面是边长为4的正方形的四棱锥P﹣ABCD中，点P在底面的射影H为正方形ABCD的中心，异面直线PB与AD所成角的正切值为32，则四棱锥P﹣ABCD

A．617 B．516 C．413

二．填空题（共5小题）

11．如图，四边形ABCD是圆柱OE的轴截面，且AB＝BC＝4，F，G是圆O上异于A，B的两点，当EG∥平面DAF时，直线EG与直线AF所成角的余弦值为．

12．如图，经过棱长为1的正方体的三个顶点的平面截正方体得到一个正三角形，将这个截面上方部分去掉，得到一个七面体，则这个七面体内部能容纳的最大的球半径是．

13．已知在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，tan∠BAC

14．如图，在几何体ABECDF中，EF∥AD∥BC，梯形ABCD和梯形AEFD为等腰梯形，AD＝2EF＝2BC＝2AE＝2AB＝2BE，若几何体ABECDF的体积为823，则AB＝

15．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，BA＝BC＝BB1＝1，P是矩形BCC1B1内一动点，满足PA2+PC2＝2，则三棱锥P﹣ABC外接球体积为．

三．解答题（共5小题）

16．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝4，AB＝2，E为棱DD1上一点（含端点），且DE＝λDD1．

（1）证明：AC⊥B1E；

（2）当λ=12时，证明：B1E

（3）设几何体B1ACE的体积为V，若V∈（3，5），求λ的取值范围．

17．如图，在正三棱锥A﹣BCD中，BC＝CD＝BD＝4，点P满足AP→=λAC→，λ∈（0，1），过点P作平面α分别与棱AB，BD，CD交于Q，S，T三点，且AD∥α

（1）证明：?λ∈（0，1），四边形PQST总是矩形；

（2）若AC＝4，求四棱锥C﹣PQST体积的最大值．

18．如图是一个平面截底面边长为2的正方形的长方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的几何体ABCDEFGH，AC与BD相交于点O，AE＝1，CG＝2，BF＝DH．

（1）证明：OG⊥平面BDE；

（2）求三棱锥G﹣BDE的体积．

19．如图，在四棱锥Q﹣ABCD中，四边形ABCD为直角梯形，CD∥AB，BC⊥AB，平面QAD⊥平面ABCD，QA＝QD，点M是AD的中点．

（Ⅰ）证明：QM⊥BD．

（Ⅱ）点N是CQ的中点，AD＝AB＝2CD＝2，当直线MN与平面QBC所成角的正弦值为427时，求