导数压轴题分类(2)---极值点偏移问题(含答案).doc

导数压轴题分类〔2〕---极值点偏移问题

极值点偏移问题常见的处理方法有⑴构造一元差函数或者。其中为函数的极值点。⑵利用对数平均不等式。。⑶变换主元等方法。

任务一、完成下面问题，总结极值点偏移问题的解决方法。

1．设函数

〔1〕试讨论函数的单调性;

〔2〕有两解〔〕,求证：.

解析：〔1〕由可知

因为函数的定义域为，所以

假设时，当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增；

假设时，当在内恒成立，函数单调递增；

假设时，当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增；

〔2〕要证，只需证，

为增函数。

只需证：，即证〔*〕

又两式相减整理得：

，把代入〔*〕式，即证：

化为：

所以为减函数，

综上得：原不等式得证。

,是函数图象上不同的两点,为线段的中点,过点作轴的垂线交曲线于点,试问:曲线在点处的切线是否平行于直线？

解:由题意可得,,

且,故直线的斜率.

由题意可知曲线在点处的切线的斜率为,因此我们只需判断直线的斜率与是否相等即可.

又由于,因此.

令函数,那么

.

不妨令,那么,,

那么由可知在上递增.

故.

从而可得,即直线的斜率与不相等,也即曲线在点处的切线与直线不平行.

任务二、完成下面练习，体验极值点偏移问题的解决方法在解题中的运用。

．

(1)求函数的单调区间；

(2)假设方程有两个不等实根,求证:．

解:(1)由,且可知:

当时,,此时函数在上单调递增；

当时,假设,那么；假设,那么；此时,函数在上单调递减；在上单调递增.

(2)由是方程的两个不等实根可知:

,

.

两式作差可得

.

故.

由可得

.

由可知,因此由,

那么由可知在上递增.

故,从而可知．

有两个零点,且是的等差中项,求证:.

证明:由是函数的两个零点可知

,

,

两式作差可得

.

故.

由,及可得

.

由可知,因此由,

那么由可知在上递增.

故,从而可知．

5.〔2021年高考数学全国Ⅰ理科第21题〕函数有两个零点．

〔Ⅰ〕求的取值范围；

〔Ⅱ〕设是的两个零点，证明：．

解：〔Ⅰ〕函数的定义域为，

当时，，得，只有一个零点，不合题意；

当时，

当时，由得，，由得，，由得，，

故，是的极小值点，也是的最小值点，所以

又，故在区间内存在一个零点，即

由又，所以，在区间

存在唯一零点，即，

故时，存在两个零点；

当时，由得，，

假设，即时，，故在上单调递增，与题意不符

假设，即时，易证故在上只有一个零点，假设，即时，易证

，故在上只有一个零点

综上述，

〔Ⅱ〕解法一、根据函数的单调性证明

由〔Ⅰ〕知，且

令，那么

因为，所以，所以，所以在内单调递增,所以，即，所以，所以，因为，在区间内单调递减，所以，即

解法二、利用对数平均不等式证明

由〔Ⅰ〕知，，又所以，

当时，且，故

当时，，又因为

即

所以

所以

所以

所以①

下面用反证法证明不等式①成立

因为，所以，所以

假设，当，,与①矛盾；

当时,与①矛盾，故假设不成立

所以

6.设函数有两个零点,求证:.

证明:由是函数的两个零点可得:

,

,

两式相减可得.

两式相加可得.

故有.由于.

因此只需证明即可.

而

由可知,因此由,

那么由可知在上递增.

故,从而原命题得证.