考研数学二(线性代数)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析).pdfVIP

考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)

题型有：1.选择题2.填空题3.解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．记行列式为f(x)，则方程f(x)=0的根的个数为

A．1

B．2

C．3

D．4

正确答案：B

解析：计算该行列式可以有多种方法．例如，为了便于降阶，先把第1列的

(一1)倍分别加到第2、3、4列，得故方程f(x)=0的根为x=0和x=1，于是知(B)

正确．

2．行列式

A．(ad一bc)2

B．一(ad一bc)2

C．a2d2一b2c2

D．b2c2一a2d2

正确答案：B

解析：按第1列展开，得所求行列式D等于=一ad(ad一bc)+bc(ad一bc)=

一(ad一bc)2.

3．设A是任一n(n≥3)阶方阵，A*是A的伴随矩阵，又k为常数，且k≠

0，±1，则必有(kA)*=

A．kA*

B．kn一1A*

C．k一1A*

D．k一1A*

正确答案：B

解析：由于n阶行列式的每个元素的余子式都是一个n一1阶行列式，故|kA|

的每个元素的代数余子式等于|A|的对应元素的代数余子式的kn一1倍，于是由

伴随矩阵的定义知(kA)*的每个元素等于A*的对应元素的kn一1倍，即(kA)*=kn

一1A*．

4．设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B，再把B的第2列

加到第3列得C，则满足AQ=C的可逆矩阵Q为

A．

B．

C．

D．

正确答案：D

解析：记交换单位矩阵的第1列与第2列所得初等矩阵为E(1，2)，记将单

位矩阵第2列的k倍加到第3列所得初等矩阵为E(3，2(k))，则由题设条件，有

AE(1，2)=B，BE(3，2(1))=C，故有AE(1，2)E(3，2(1))=C于是得所求逆矩

阵为Q=E(1，2)E(3，2(1))=所以只有选项(D)正确．

5．设A为n(n≥2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B，A*，

B*分别为A，B的伴随矩阵，则

A．交换A*的第1列与第2列得B*．

B．交换A*的第1行与第2行得B*．

C．交换A*的第1列与第2列得一B*．

D．交换A*的第1行与第2行得一B*．

正确答案：C

解析：用排除法，以2阶方阵为例，设由此可见，交换A*的第1列与第2

列得一B*，而其它选项均不对，故只有(C)正确．记P为交换n阶单位矩阵的第

1行与第2行所得初等方阵，则由题设条件有B=PA，且|B|=一|A|，P一1=P．由

A可逆知B可逆，利用B一1=|B|一1B*，得B*=|B|一1=一|A|(PA)一1=一(|A|A

一1)一1=一A*P或A*P=一B*因为用P右乘矩阵A*，等价于交换A*的第

1列与第2列，故知选项(C)正确．也可利用B*=(PA)*=A*P*，及P*=|P|P一1=

一P，得B*=一A*P．

6．设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的

一1倍加到第2列得C，记P=则

A．C=P一1AP，

B．C=PAP一1

C．C=PTAP．

D．C=PAPT．

正确答案：B

解析：将单位矩阵E的第2行加到第1行即得初等矩阵P，由初等变换与初

等矩阵的关系，有B=PA．令矩阵则将E的第1列的一1倍加到第2列即得矩阵

Q，于是有C=BQ，从而有C=PAQ．由于P一1=所以，C=PAQ=PAP一1，只有

选项(B)正确．