考研数学一(解答题)模拟试卷168(题后含答案及解析).pdfVIP

考研数学一（解答题）模拟试卷168(题后含答案及解析)

题型有：1.

1．求极限

正确答案：利用当χ→0时的等价无穷小关系sinχ～χ与ln(1＋χ)～χ可

知当χ→0时ln(1＋sin2χ)～sin2χ～χ2，再利用极限的四则运算法则即知

其中I＝用洛必达法则可得I＝＝2．代入即知所求极限＝1＋2

＝3．涉及知识点：高等数学

2．设A是n阶反对称矩阵。(Ⅰ)证明：A可逆的必要条件是儿为偶数；当

n为奇数时，A*是对称矩阵；(Ⅱ)试举一个4阶不可逆的反对称矩阵的例子。

正确答案：(Ⅰ)根据反对称矩阵的定义：AT=-A，则｜A｜=｜AT｜=｜

-A｜=(-1)n｜A｜，即[1-(-1)n]｜A｜=0。若n=2k+1，必有｜A｜=0，此时A

不可逆。所以A可逆的必要条件是n为偶数。因为AT=-A，则由(A*)T=(AT)*

有(A*)t=(At)*=(-A)*。又因(lA)*=ln-1A*，故当n=2k+1时，有

(A*)T=(-1)2KA*=A*，即A*是对称矩阵。(Ⅱ)例如，A=是4阶反对称矩阵，且

不可逆。涉及知识点：矩阵

3．设y=(1+x2)arctanx，求y’．

正确答案：将函数化为y=然后对x求导即得y’

=(1+x2)arctanx[arctanxln(1+x2)]’=(1+x2)arctanx涉及知识点：一元函数的

导数与微分概念及其计算

4．设f(x)在[0，1]上连续，f(0)=0，∫01f(x)dx=0．证明：存在ξ∈(0，1)，

使得∫0ξf(x)dx=ξf(ξ)．

正确答案：令φ(x)=，因为f(x)在[0，1]上连续，所以φ(x)在[0，1]上连续，

在(0，1)内可导，又φ(0)=0，φ(1)=∫01f(x)dx=0，由罗尔定理，存在ξ∈(0，1)，

使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=所以∫0ξf(x)dx=ξf(ξ)．涉及知识点：高等

数学

5．证明n阶矩阵相似．

正确答案：所以A与B有相同的特征值λ1=n，λn=0(n—1重)．由于

A为实对称矩阵，所以A相似于对角矩阵因为r(λE—B)=r(B)=1，所以B

的对应于特征值λ2=0有n—1个线性无关的特征向量．于是由方阵相似于对角

矩阵的充要条件知B也相似于A．再由矩阵的相似关系具有对称性和传递性知A

与B也相似．涉及知识点：线性代数

6．已知二次型f(x1，x2，x3)=2x12+3x22+3x32+2ax1x2(a＞0)通过正交变换

化成标准形f=y12+2y22+5y32，求参数a及所用的正交变换矩阵．

正确答案：二次型f的矩阵为A的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=5．将λ=1(或

λ=5)代入特征方程，得a2一4=0，a=±2，又a＞0，故a=2．这时，涉

及知识点：线性代数

7．设随机事件A、B相互独立，P(A)＝P，0＜P＜1，且A发生B不发生

与A不发生B发生的概率相同，令随机变量求：(Ⅰ)二维随机变量(X，Y)

的概率分布；(Ⅱ)X＋Y的概率分布；(Ⅲ)X与X＋Y的相关系数ρ．

正确答案：依题意P(A)＝P(B)，由于P(B)＝P(B)＋P(AB)，P(A)＝P(A)＋

P(AB)，故P(B)＝P(A)＝P，P(AB)＝P(A)P(B)