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二次函数综合练习

1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，连接BC，过点A作AD∥BC交y轴于点D，连接BD．

（1）求二次函数的表达式；

（2）如图1，点P在第一象限内的抛物线上，连接PB、PC，当四边形BPCD的面积最大时，求出此时点P的坐标以及S四边形BPCD的最大值；

（3）如图2，将抛物线先向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到新抛物线，若新抛物线与y轴交于点E，连接AE、BE，点M在新抛物线的对称轴上，满足：∠EBM+∠AEO＝∠OEB，请直接写出点M的坐标．

2．已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．

（1）求该抛物线解析式；

（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上的一点，过点P作PQ∥y轴交BC于点Q，作PE∥BC交x轴于点E，求PQ+BE的最大值以及此时点P的坐标；

（3）如图2，在（2）问的条件下，将抛物线沿射线AP方向平移个单位得到新抛物线，新抛物线对称轴与x轴交于点K，在新抛物线上是否存在点G，连接AP，PK，KG，使∠APK＝∠PKG，若存在，请写出所有满足条件的点G的横坐标，并写出求解点G横坐标的一种情况的过程；若不存在，请说明理由．

3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）如图2，点P为直线BC上方抛物线上一点，过点P作y轴的平行线交BC于点D，过点P作PE⊥AC交y轴于点E，求的最大值及此时点P的坐标；

（3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，M为平移后抛物线对称轴上的一点，若∠MBC+∠ACO＝∠ABC，请写出所有符合条件的点M的坐标，并写出其中一种情况的过程．

4．已知，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点B，C，与y轴交于点A，其中B（﹣3，0），C（1，0）．

（1）求a，b的值；

（2）如图1，连接AB，点P是直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PK∥y轴交AB于点K，过点K作KE⊥y轴，垂足为点E，求PK+KE的最大值并求出此时点P的坐标；

（3）如图2，点P在抛物线上，且满足在（2）中求出的点P的坐标，连PC，将该抛物线向右平移，使得新抛物线y′恰好经过原点，点C的对应点是F，点M是新抛物线y′上一点，连接CM，当∠MCF+∠PCB＝135°时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．

5．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴交于A，B（2，0）两点，与y轴交于点C，如图所示．点D为抛物线的顶点，点是抛物线上的一点．

（1）求抛物线的表达式．

（2）点P是直线AE上方抛物线上一动点，过点P分别作PM∥BC交x轴于点M，PN∥x轴交直线AE于点N．求的最大值及此时点P的坐标．

（3）将抛物线沿AE方向平移个单位长度得到新抛物线，点D是新抛物线的顶点，点F是点E平移后的对应点，点G是新抛物线上一动点，连接BF．当∠DBF+∠FBG＝90°时，请直接写出所有符合条件的点G的坐标．

6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线AB交于点A（2，0），B（0，3）．直线BC经过点C（﹣4，0）．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PM⊥BC于点M，作PN⊥AB于点N，求的最大值及此时点P的坐标；

（3）将抛物线沿射线BA方向平移个单位长度得到新抛物线y′，点D为平移后的抛物线y′与x轴负半轴的交点，将点D向下平移一个单位得到点E，在直线AE上确定一点Q，使得∠BAE＝2∠BQA，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标．

7．如图1，在平面直角坐标系中放置了一块30度的直角三角板ABC，且直角三角板的三个顶点A，B，C均在坐标轴上，B（﹣1，0），C（0，．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，已知直线AC上方抛物线上一点D，连接AD，CD，求△ACD的面积最大值以及此时点D的坐标；

（3）如图2，将原抛物线沿射线AC方向平移得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点C，已知点P为新抛物线上的一点，过B作直线BE∥AC交新抛物线于第四象限的点E，连接PB，PE，当∠BPE+∠PEB＝2∠ABE时，写出所有符合条件的点P的坐标，并写出求解点P的坐标的其中一种情况的过程．

8．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）的与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（﹣2，0），直线BC的解析式为y＝﹣x+2．

（1）求抛物