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数值分析课程设计报告

设计题1、2、3、5

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目录

[设计题一]3

1.1问题分析与设计思路3

1.2程序清单4

1.4结果分析7

1.5设计总结7

[设计题二]8

2.1问题分析与设计思路8

2.2程序清单8

2.3运行结果10

2.4结果分析与设计总结10

[设计题三]11

3.1问题分析与设计思路11

3.2程序清单11

3.3运行结果13

3.4结果分析与设计总结13

[设计题五]14

4.1问题分析与设计思路14

4.2程序清单15

4.3运行结果20

4.4结果分析21

【数值分析课程设计总结】22

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[设计题一]

设计实验验证Hilbert矩阵的病态性。

1.1问题分析与设计思路

在求解任何反问题的过程中通常会遇到病态矩阵问题，而且病态矩阵问题

还未有很好的解决方法，尤其是长方形、大型矩

阵。目前主要有Tikhonov、奇异值截断、奇

异值修正等方法。

求解方程组时对数据的小扰动很敏感的矩阵就是病态矩阵。解线性方程组

Ax=b时，若对于系数矩阵A及右端项b的小扰动δA、δb,方程组

(A+δAχ=b+δb的解χ与原方程组Ax=b的解差别很大，则称矩阵A为病态矩

阵。方程组的近似解χ一般都不可能恰好使剩余r=b-Aχ为零，这时χ亦可看作

小扰动问题Aχ=b-r(即δA=0，δb=-r的解,所以当A为病态时,即使剩余很小,仍

可能得到一个与真解相差很大的近似解。

因此，设计思路如下：

令x0=1,1…..1），计算出b=Hx0，求出b，然后再用高斯消去法球解

Hx=b，得到近似解x，然后利用标准差：

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比较x与x0之间的误差。截图是取了几个n程序中设置为1至30）去计算，

看一下随着n的增大误差的变化情况。

1.2程序清单

共两个文件

qm1.m

gauss_liezhu1.m在qm1.m中调用此程序）

qm1.m

gauss_liezhu1.m

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N=14

1.4结果分析

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按照N的递增顺序取了9个误差数据，制成散点折线图如上所示。

由此可以看出，此矩阵求解方程组时对数据的小扰动很敏感

实验验证Hilbert矩阵的病态性成立。

1.5设计总结

1）认识什么事矩阵的病态性

2）令x0=1,1…..1），计算出b=Hx0，求出b，然后再用高斯消去法球解

Hx=b，得到近似解x，然后利用标准差公式

比较x与x0之间的误差。

3）取几个点进行误差记录

4）绘制误差的散点图，形象分析

[设计题二]

1225年，达芬奇研究了方程并得到它的一个近似根