第2讲 中心对称、轴对称和周期性（解析版）.docx

第2讲中心对称、轴对称与周期性7类

【题型一】中心对称性质1：几个复杂的奇函数

【典例分析】

已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

构造函数，判断函数的奇偶性与单调性，将所求不等式转化为，即，再利用函数单调性解不等式即可.

【详解】

，

令，则，可得是奇函数，

又，

又利用基本不等式知当且仅当，即时等号成立；

当且仅当，即时等号成立；

故，可得是单调增函数，

由得，

即，即对恒成立.

当时显然成立；当时，需，得，

综上可得，故选：D.

【变式演练】

1.对于定义在上的函数，点是图像的一个对称中心的充要条件是：对任意都有，判断函数的对称中心______.

【答案】

【分析】根据点是图像的一个对称中心的充要条件，列出式子，即可得出结果.

解：因为，由于

.即，.所以是的一个对称中心.

故答案为：.

2.设函数，若，满足不等式，则当时，

的最大值为

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

因为,所以函数为奇函数,又因为为单调减函数,且所以为上减函数,因此

,因为,所以可行域为一个三角形及其内部,其中,因此直线过点时取最大值,选B.

3.．已知函数，若，其中，则的最小值为

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

通过函数解析式可推得，再利用倒序相加法求得

，得到的值，然后对分类讨论利用基本不等式求最值即可得出答案.

【详解】

解：因为，

所以

，

令

则所以

所以，所以，其中，则.

当时

当且仅当即时等号成立；当时

，

当且仅当即时等号成立；因为，所以的最小值为.故选：A.

【题型二】中心对称性质2：与三角函数结合的中心对称

【典例分析】

已知函数与在（，且）上有个交点，，……，，则

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

由图可知交点成对出现，每对交点关于点（0,1）对称，横坐标和为0，纵坐标和为2，所以，选B.

【变式演练】

1.函数在上的所有零点之和等于______.

【答案】8

【详解】

分析：通过化简函数表达式，画出函数图像，分析图像根据各个对称点的关系求得零点的和．

详解：零点即，所以

即，画出函数图像如图所示

函数零点即为函数图像的交点，由图可知共有8个交点

图像关于对称，所以各个交点的横坐标的和为8

点睛：本题考查了函数的综合应用，根据解析式画出函数图像，属于难题．

2.若关于的函数的最大值为，最小值为，且，则实数的值为___________．

【答案】

【解析】

试题分析：由已知，而函数为奇函数

又函数最大值为，最小值为，且，

考点：函数的奇偶性和最值

【名师点睛】本题考查函数的最大值、最小值，考查函数是奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．解释要充分利用已知条件将函数变形为，则函数为奇函数，而奇函数的最值互为相反数，可得，则问题得解．

3.已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为（）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

由题设，构造，易证为奇函数，利用导数可证为增函数，结合题设不等式可得，即对任意均成立，即可求的范围.

【详解】

由题设，令，

∴，

∴为奇函数，又，即为增函数，

∵，即，

∴，则，

∴对任意均成立，又，当且仅当时等号成立，

∴，即.故选：A

【题型三】轴对称

【典例分析】

已知函数有唯一零点，则负实数（）

A．B．C．D．或

【答案】A【解析】函数有有唯一零点，设

则函数有唯一零点，则3e|t|-a（2t+2-t）=a2，

设∴为偶函数，

∵函数有唯一零点，∴与有唯一的交点，

∴此交点的横坐标为0，解得或（舍去），故选A．

【变式演练】

1.已知函数在区间的值域为，则（）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】C

【详解】解：在上为奇函数，图象关于原点对称，是将上述函数图象向右平移2个单位，并向上平移3个单位得到，所以图象关于对称，则，故选.

2.已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（a-x），若函数y=|x2-ax-5|与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），且=2m，则a=（）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【详解】∵f（x）=f（a-x），∴f（x）的图象关于直线x=对称，又y=|x2-ax-5|的图象关于直线x=对称，

当m为偶数时，两图象的交点两两关于直线x=对称，∴x1+x2+x3+…+xm=?a=2m，解得a=4．

当m奇数时，两图象的交点有m-1个两两关于直线x=对称，另一个交点在对称轴x=上，

∴x1+x2+x3+…+xm=a?+=2m．解得a=4．故选：D．

3.已知函数，下面是关于此函数的有关命题，其中正确的有

①