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北京市房山区2024-2025学年高三上入学考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，则（???）

A． B． C． D．

2．若复数满足，则（???）

A． B． C． D．

3．双曲线的渐近线方程为（）

A． B． C． D．

4．已知圆与直线相切，则（???）

A．2 B． C． D．

5．的展开式中的常数项为

A． B． C．6 D．24

6．设向量，则“”是“”的（???）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．已知函数的图象与直线的相邻两个交点间的距离等于，则（???）

A． B． C． D．

8．已知正四棱锥的八条棱长均为4，是底面上一个动点，，则点所形成区域的面积为（）

A．1 B． C．4 D．

9．近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，，则该蓄电池的常数大约为（????）

A．1.25 B．1.75 C．2.25 D．2.55

10．已知集合，是集合表示的平面图形的面积，则（???）

A．1 B． C．2 D．

二、填空题

11．抛物线的准线方程是

12．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称．若，则．

13．已知函数若，则；若在上单调递增，则的一个值为．

14．如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点．如果将容器倒置，水面也恰好经过点（图2），设正四棱柱的高为，正四棱锥的高为，则．

15．古希腊毕达开拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类.如图，第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列an，正方形数构成数列b

①数列an的一个通项公式是；

②2025既是三角形数，又是正方形数；

③；

④，总存在．使得成立．

其中所有证确结论的序号是．

三、解答题

16．在锐角中，角的对边分别为，且．

(1)求角的大小；

(2)再从下面条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积．

条件①：；

条件②：．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

17．已知四棱锥中，平面，四边形为菱形，，为的中点．

(1)若为的中点，求证：平面；

(2)若．求平面与平面夹角的余弦值．

18．某企业产品利润依据产品等级来确定：其中一等品、二等品、三等品的每一件产品的利润分别为100元、50元、50元．为了解产品各等级的比例，检测员从流水线上随机抽取了100件产品进行等级检测、检测结果如下表：

产品等级

一等品

二等品

三等品

样本数量（件）

50

30

20

(1)从流水线上随机抽取1件产品，估计这件产品是一等品的概率；

(2)若从流水线上随机抽取3件产品，这3件产品的利润总额为．求的分布列和数学期望；

(3)为了使每件产品的平均利润不低于80元，产品中的一等品率至少是多少？

19．已知椭圆的一个顶点为．焦距为．过点且斜率不为零的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为．

(1)求椭圆的方程及离心率；

(2)若直线与轴垂直，求的值．

20．已知函数，直线为曲线在点处的切线．

(1)当时，求出直线的方程；

(2)若，求的最小值；

(3)若直线与曲线相交于点，且，求实数的取值范围．

21．已知数列的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为．

(1)若数列，求集合，并写出的值；

(2)若是递减数列，求证：“为等差数列”的充要条件是“”；

(3)已知数列，求证：．

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参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

C

C

D

D

A

B

B

C

B

1．A

【分析】利用交集的定义直接求解并判断即可.

【详解】集