山东大学自学考试作业答案(复变函数).pdfVIP

第一章复变函数

第二章解析函数

1、

.试判断函数f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)的可微性和解析性

解：设f(z)=u+iv,其中u=x³-3xy,v=3yx²-y³

由可导条件需满足:柯西-黎曼条件，即∂u/∂x=∂v/∂y且∂u/∂y=-∂v/∂x

而∂u/∂x=6x²+3y,∂u/∂y=-3x,

∂v/∂x=6xy,∂v/∂y=3x²-3y²

若要满足柯西-黎曼条件，需要6x²+3y=3x²-3y²,-3x=-6xy

即x²+y²+y=0，y=1/2,

所以f(z)在直线x²+y²+y=0，y=1/2,上可导，

而由解析的定义，f(z)在整个复平面上处处不解析。

3、求cos(1-i)

解：cos(1-i)

={e^[i(1-i)]+e^[-i(1-i)]}/2

=[e^(1+i)+e^(-1-i)]/2

=(1/2)e^(1+i)+(1/2)e^(-1-i)

=(e/2)(cos1+isin1)+[1/(2e)](cos1-isin1)

第三章复变函数的积分

3、

已知u=x^2+xy-y^2，，f(i)=-1+i.求f(z)=u+iv

解：设f(z)=u+iv为解析函数，则由Cauchy-Riemann方程知

∂v/∂x=-∂u/∂y=-x+2y；

∂v/∂y=∂u/∂x=2x+y。

v=-x^2/2+2xy+y^2/2+C，C为常数。

f(z)=u+iv

=x^2+xy-y^2+i(-x^2/2+2xy+y^2/2+C)

=(1-i/2)(x^2+2ixy-y^2)+iC

=(1-i/2)(x+iy)^2+iC

=(1-i/2)z^2+iC，

f(i)=-1+i代入，得C=1/2，

f(z)=(1-i/2)z^2+i/2

学习复变函数与积分变换的心得

这个学期我自学了复变函数与积分变换这门课程，虽然它同自学

的概率统计一样也是自考课，但它的应用及延伸远比概率统计广，复

杂得多。我深深感受到了这门课程的魅力与精彩，因此我深深地被复

变函数吸引了。

关于这门课程，首先，它作为一门工科类各专业的重要基础

理论课程，它与工程力学、电工技术、电磁学、无线电技术、信号系

统和自动控制等课程的联系十分密切，其理论方法应用广泛。同时，

作为一门工程数学的课程，它主要是以工程背景为依托来展开讨论和

研究的，其前提就是为了服务于实际工程。其次，复变函数与积分变

换作为一门工程数学课程，概念晦涩难懂、计算繁琐和逻辑推理不易

理解。它既具有传统数学的一些特点，又具有与实际工程相结合才能

理解的特点。传统数学主要注重对于基本概念的理解和对理论的讲解，

要求理论推导具有严密的逻辑性，而不太注重其实际应用。而工程数

学在推导定理或概念的过程中就会出现一些不完全符合严密逻辑的

推理，但在现实中又是实实在在存在的一些特殊情况。如单位脉冲函

数，对于集中于一点或一瞬时的量如点电荷、脉冲电流等，这些物理

量都可以用通常的函数形式来描述。复变函数是在实变函数的基础

上产生和发展起来的一个分支，复变函数与积分变换中的理论和方法

不仅是数学的许多后续课程如数理方程泛函分析多复变函数调和分

析等课程的基础，而且在其它自然科学和各种工程技术领域特别是信

号处理以及流体力学电磁学热学等的研究方面有着广泛的应用，可以

说复变函数与积分变换既是一门理论性较强的课程，又是解决实际问

题的有力工具各高校普遍将复变函数与积分变换课程作为工科各专

业的一门重要的必修科来开设，尤其作为电子、机电自动化等电力专

业的学生而言，该课程更是一门必不可少的专业基础类必修课，它为

电路分析信号与系统以及自动控制原理等后续专业课程的学习提供

了必要的数学工具因此，学好这门课程非常必要然而，该课程一直是

学生较难学的课程之一。

第一，学生普遍认为复变函数的应用性不强我们知道复变函数

是建立在复数的基础上的，而复数中是一个虚数单位，从而大家对复

数的真实性存在疑虑，所以很难