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1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系

3.空间中直线、平面的垂直

教学目标学习目标数学素养1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.1.数学抽象素养和空间直观素养.2.掌握利用向量方法证明直线与平面、平面与平面垂直.2.空间直观素养和逻辑推理素养.

温故知新?????x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2.???x1x2+y1y2+z1z2=0.????x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2.4.空间中的垂直关系有哪些?直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直.环节一回归旧知,引出新知

新知探究?1.直线与直线垂直??思考:如何用向量的坐标刻画直线与直线垂直关系?????x1x2+y1y2+z1z2=0.问题1:类似空间中直线、平面平行的向量表示,在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中,直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系?环节二用向量来刻画空间直线、平面的垂直

新知探究?2.直线与平面垂直??思考:如何用向量的坐标刻画直线与平面垂直关系??????λ∈R,使得x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2.环节二用向量来刻画空间直线、平面的垂直

新知探究?3.平面与平面垂直??思考:如何用向量的坐标刻画平面与平面垂直关系?????x1x2+y1y2+z1z2=0.我们随时随地向量运算的作用,你同意“向量是躯体,运算是灵魂”“没有运算的向量只起路标的作用”的说法吗?环节二用向量来刻画空间直线、平面的垂直

新知探究【例4】如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,求证:直线A1C⊥平面BDD1B1.证明:???∵AB=AD=AA1=1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,?环节三典例分析,巩固理解

新知探究【例4】如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,求证:直线A1C⊥平面BDD1B1.证明:????∴直线A1C⊥平面BDD1B1.环节三典例分析,巩固理解

新知探究【例5】证明“平面与平面垂直的判定定理”:若一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.证明:???已知:如图,l⊥α,l?β,求证:α⊥β.∴α⊥β.环节三典例分析,巩固理解

新知探究【例6】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是AC与BD的交点,G是CC1的中点.求证:A1O⊥平面GBD.证明:方法1:设正方体棱长为2,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示空间直角坐标系.则???D(0,0,0),O(1,1,0),A1(2,0,2),B(2,2,0),G(0,2,1),∴OA1⊥平面GBD.又DB∩BG=B,环节三典例分析,巩固理解

新知探究【例6】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是AC与BD的交点,G是CC1的中点.求证:A1O⊥平面GBD.证明:方法2:同方法1建立空间直角坐标系,可得??令x=1,则y=-1,z=2,∴OA1⊥平面GBD.???环节三典例分析,巩固理解

课堂小结1.空间两条直线垂直2.空间线面垂直3.空间面面垂直????x1x2+y1y2+z1z2=0.?????λ∈R,使得x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2.????x1x2+y1y2+z1z2=0.环节四小结提升,形成结构

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