学习高等数学的目的、作用、内容及方法.pdfVIP

学习高等数学的目的、作用、内容及

方法

一、为什么要学习高等数学？

高等数学是高等学校许多专业学生必修的重要基础理论课

程。数学主要是研究现实世界中的“数量关系”与“空间形式”。世界上任何

客观存在都有其“数”与“形”的属性特征，并且一切事物都发生变化，遵循

量变到质变的规律。

凡是研究量的大小、量的变化、量与量之间关系以及这些关

系的变化，就少不了数学。同样，客观世界存在有各种不同的空间形式。因

此，宇宙之大，粒子之微，光速之快，实事之繁，……无处不用数学。

数学不但研究空间形式与数量关系，还研究现实世界中的

任何形式和关系，只要这种形势和关系能抽象出来，用清晰准确的方式表达，

即所谓化为数学模型。不但如此，数学还研究在逻辑上可能的形式。

“空间形式”必须理解为一切类似于空间形式的形式：射影空间、非欧几

里得空间、拓扑空间、无穷维空间的空间、微分流形……

“数量关系”也要理解为一切类似于数量关系的关系：逻

辑关系、语法关系……数学研究的是各种抽象的“数”和“形”的模式结

构。

在今天的数学中，“数”和“形”的概念已发展到很高的境

地。比如，非数之“数”的众多代数结构，像群、环、域等；无形之形的一些

抽象空间，像线性空间、拓扑空间、流形等。

恩格斯说：“要辩证而又唯物地了解自然，就必须掌握

数学。”

英国著名哲学家培根说：“数学是打开科学大门的钥

匙”。

德国大数学家、天文家、物理学家高斯说：“数学是科学的皇后，她常常

屈尊去为天文学和其它自然科学效劳，但在所有的关系中，她都堪称第一。”

马克思还认为：“一种科学，只有当它成功地运用数学时，才能达到真正

完善的地步。”

亨普尔说：经验科学中多数更加深刻的定理都是借助数学概念陈述的。

拉奥说：一个国家的科学进步可以用它消耗的数学来衡量。

考特说：数学是人类智慧王冠上最灿烂的明珠。

戴维认为：被人们如此称颂的高科技技术，本质上是一

种数学技术。

霍格说：如果一个学生要成为完全合格的、多方面武装的

科学家，他在其发展初期就必定来到一座大门，并且必须通过这座大门，在这

座大门上用每种人类语言刻着同一句话：“这里使用数学语言。”

培根曾说：“数学使人精细”

罗蒙诺索夫把数学称做：“所有思想研究工作的主宰”

伽里略、惠更斯、牛顿都认为：“科学工作中的演绎数学

部分所起的作用比实验部分所起的作用要大”

第一个诺贝尔物理奖得主伦琴在回答“科学家需要什么

样的修养”这一问题时，说：“第一是数学，第二是数学，第三还是数学。”

被誉为“计算机之父”的冯·诺伊曼认为“数学处于人类智慧的中心领

域”

数学史梗概：

第一阶段

数学萌芽时期（远古—公元前5世纪）：算术几何形成时期，但它们还

未分开，彼此交织在一起，没有形成完整、严格的体系，缺乏逻辑性，基本上

看不到命题证明、演绎、推理。

第二阶段

常量（初等）数学时期（公元前5世纪—17世纪中叶）：数学逐步形成

了一门独立的、演绎的学科。算术、初等几何、初等代数、三角学都已成为独

立的分支。

第三阶段

变量（高等）数学时期（17世纪中叶—19世纪中叶）：变量与函数的

概念进入数学。解析几何、微积分、概率论、射影几何形成。

第四阶段

近代数学时期（19世纪中叶—二次大战）：非欧几里得几何、抽象代

数、复变函数论、集合论、微分几何、微分方程论、积分方程论、点集拓扑、

组合拓扑……。

第五阶段

现代数学时期（20世纪40年代以来）：（原子能的应用，电子计算机

的发明，空间技术的兴起）广义函数论、整体微分几何、非标准分析、微