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弹性力学

总结BY傅国强

弹性力学：是研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度变化等原因而发生的应力、

形变和位移。

弹性力学的研究方法是：在弹性体区域内必须严格地考虑静力学（微分体平衡条件）、

几何学（形变和位移之间的几何关系）和物理学（应力和形变之间的关系）三方面的条件，

在边界上必须严格地考虑受力条件和约束条件，由此建立微分方程和边界条件进行求解。（不

同于材料力学采用了平截面假定简化了几何条件，只适用于杆状构件）

外力：是指其他物体对研究对象的作用力，分为体积力和表面力，也分别成为体力（分

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布在物体体积内的力，N/M）和面力（分布在物体表面的力，N/M）。

内力：是物体收到外力作用以后物体内部不同部分之间相互作用的力，内力的平均集度

即平均应力，

正面和负面：凡外法线沿坐标轴正方向的，称为正面，凡外法线沿坐标轴负方向的，称

为负面。

切应力互等性：作用在两个相互垂直的面上并且垂直于该两面交线的切应力是互等的

（大小相等，正负号一致）。

形变：即形状的改变，可以用其各部分的长度和角度表示。

线应变：单位伸缩或相对伸缩，伸长为正。

切应变：各线段之间的直角改变量，直角变小为正。

位移：即位置的移动，沿坐标轴正方向为正。

弹性力学的基本假定：1)连续性，假定物体介质所填满，不留下任何空隙，是连续的，

这表示应力、形变、位移等是连续的，可用坐标的连续函数表示其变化规律；2）完全弹性，

假定物体在引起形变的外力去除之后能够完全恢复原形而没有任何残余变形，这表示形变和

应力是呈线性关系的；3）均匀性，假定整个物体由同一材料组成的，这表示物体的弹性不

随坐标改变而变化；4）各向同性，假定物体的弹性在所有各个方向都相同，这表示物体的

弹性常数不随方向而改变；满足以上四个条件的就是理想弹性体5）位移和形变是微小的，

假定物体受力后各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，且应变和转角远小于1，主要是为

了：1.可以用物体变形前的尺寸来代替变形后的尺寸、2.转角和应变的二阶量可以忽略不计，

仅保留一次项、3.几何方程和平衡微分方程可以简化为线性方程，应用叠加原理。

平面应力问题：即只有平面应力分量（）存在，且仅为x、y的函数的弹性力学问题

平面应变问题：即只有平面应变分量（）存在，且仅为x、y的函数的弹性力学问题

平衡微分方程：推导时候采用了连续性和小变形的基本假定。

几何方程：推导采用了连续性和小变形的基本假定，其位移分量完全确定时候形变分量

也就完全确定了，当时形变分量完全确定时候位移分量却不能完全确定，即存在与形变无关

的刚体位移。

物理方程：推导时候采用了连续性、均匀性、各向同性、完全弹性和小变形的基本假定，

由平面应力通过转换：可以得到平面应变

边界条件表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式，分为位移边界条件、

应力边界条件和混合边界条件。

圣维南原理：1）目的：因弹性力学问题的应力分量、形变分量和位移分量必须满足区

域内的平衡微分方程、几何方程、物理方程以及边界上的边界条件，往往会遇到很大的困难，

圣维南原理可以简化局部边界上的应力边界条件；2）原理：如果把物体的一小部分边界上

的面力变换为分布不同但静力等效的面力，那么近处的应力分布会显著变化但是远处所受的

影响忽略不计；3）注意，圣维南原理只能运用在一小部分边界上（局部边界、次要边界），

在主边界上不能用圣维南原理。

位移求解平面问题：以位移分量为基本位置函数，从方程和边界条件中消去应力分量和

形变分量，导出只含位移分量的方程和边界条件从而求解；需满足平衡微分方程、位移边界

条件、应力边界条件。

应力求解平面问题：以应力分量为基本位置函数，从方程和边界条件中消去位移分量和

形变分量，导出只含应力分量的方程和边界条件从而求解（通常只求解全部为应力边界条件

的问题）；需满足平衡微分方程、相容方程、应力边界条件、（位移单值条件）。

相容方程的物理意义：即连续体变形是满足几何方程的（各形变分量是互相相关的），

并由此可以推出相容方程。

在常体力作用下，用应力求解平面问题所得的应力分量与弹性模量无关，