空间向量基本定理第1课时课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.pptxVIP

1.2空间向量基本定理

教学目标学习目标数学素养1.理解空间向量基本定理及其意义.1.数学抽象素养和空间想象素养.2.掌握空间向量的正交分解.会在简单问题中选用空间三个不共线向量作基底表示其他向量的方法2.数学抽象素养和数学运算素养.3.会用空间向量基本定理证明平行、垂直问题和求夹角.3.直观想象素养和数学运算素养.

温故知新1.平面向量共线定理2.平面向量共面定理3.平面向量基本定理????复习提问

温故知新4.平面向量的正交分解及坐标表示?∟把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量作正交分解.?????复习提问

新知探究类似地，任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量a,b,c来表示呢？我们先从三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况进行讨论.xyzkijQPO??因此，如果i,j,k是空间三个两两垂直的向量，对空间任一个向量p，存在一个有序实数组(x，y，z)，使得p=xi+yj+zk我们称xi,yj,zk为向量p在i,j,k上的分向量.你能证明唯一性吗？

新知探究xyzkijQPO假设除(x，y，z)外，还存在有序实数组(x′，y′，z′)，使得p＝x′i＋y′j＋z′k，则x′i＋y′j＋z′k＝xi＋yj＋zk.不妨设x′≠x，则(x′－x)i＝(y－y′)j＋(z－z′)k.唯一性证明提示：由平面向量基本定理可知，i，j，k共面，这与已知矛盾.所以有序实数组(x，y，z)是唯一的.

新知探究请你自己给出空间向量基本定理的证明.在空间中，如果任意三个不共面的向量a，b，c代替两两垂直的向量i,j,k，你能得出类似的结论吗?类似平面向量基本定理，我们有空间向量基本定理．空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z）.使得p=xa+yb+zc.由此可知，如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R}.这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底(base)，a，b，c都叫做基向量(basevectors).空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.

新知探究对于基底{a，b，c}，除了应知道向量a，b，c不共面，还应明确：⑴空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同.?⑶一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念.?

知新探究特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i,j,k}表示.由空间向量基本定理可知对空间任一个向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a=xi+yj+zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．由空间向量基本定理可知，如果把三个不共面的向量作为空间的一个基底，那么所有空间向量都可以用三个基本向量表示出来.进一步地，所有空间向量间的运算都可以转化为基向量间的运算，这位解决问题带来方便.

基底的判断思路(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．

新知探究?解：??????ABCMNPO

用基底表示向量时：⑴若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律；⑵若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求.⑶用基底表示空间向量时,一般要结合图形,运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则,以及数乘向量的运算法则,逐步向基向量过渡,直至全部用基向量表示.

课堂小结1.空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z）.使得p=xa+yb+zc.把三个不共面的向量{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量.2.空间向量的正交分解如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i,j,k}表示.由空间向量基本定理可知对空间任一个向量a，均可以分解为