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高级中学名校试卷
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江西省九江市2024届高三第三次高考模拟统一考试
数学试题
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.为深入学习党的二十大精神,某校开展“奋进新征程,强国伴我行”二十大主题知识竞赛,其中高三年级选派8名同学参赛,这8名同学的成绩(总分10分)依次如下:,则这组数据的分位数为()
A.8 B.9 C.9.5 D.10
〖答案〗C
〖解析〗8名同学成绩数据由小到大重新排列为:
是整数,
分位数是第6位数和第7位数的平均数,即.
故选:C.
2.在中,角所对的边分别为,已知,则()
A. B. C. D.
〖答案〗B
〖解析〗因为,
由正弦定理,
因为,
展开化简,
又.
故选:B.
3.已知等差数列的公差为,是与的等比中项,则()
A B. C. D.
〖答案〗A
〖解析〗因为是与的等比中项,
所以.
又因为数列为等差数列,公差为,
所以,化简得,即,
所以.
故选:A.
4.考古发现在金字塔内有一组神秘的数字“142857”,我们把它和自然数1到6依次相乘,得,,结果是同样的数字,只是调换了位置.若将这组神秘数字“142857”进行重新排序,其中偶数均相邻的排法种数为()
A.24 B.36 C.72 D.144
〖答案〗D
〖解析〗第一步:将三个偶数看成一个整体,与三个奇数进行全排列共种排法;
第二步:将三个偶数进行全排列共;
根据分步乘法计数原理可得:将这组神秘数字“142857”进行重新排序,其中偶数均相邻的排法种数为.
故选:D.
5.已知圆锥的侧面展开图是面积为的半圆,则该圆锥的体积是()
A. B. C. D.
〖答案〗A
〖解析〗设圆锥底面圆半径为,母线为,高为.
由题意得,解得,,
该圆锥的体积是.
故选:A.
6.已知椭圆的左右焦点分别为,过且倾斜角为的直线交于第一象限内一点.若线段的中点在轴上,的面积为,则的方程为()
A B.
C. D.
〖答案〗D
〖解析〗如图,为线段的中点,为线段的中点,,又轴,轴.
在中,,设,
则的面积为,
,
,则C的方程为.
故选:D.
7.若,则()
A. B.
C. D.
〖答案〗C
〖解析〗令,则,
所以由,
得,
即,
即,得,
所以,
故选:C.
8.在平面直角坐标系中,已知直线与双曲线的左右两支分别交于两点,是线段的中点,是轴上一点(非原点),且,则的离心率为()
A. B. C.2 D.3
〖答案〗B
〖解析〗设且,则,
因为,所以,得,
设直线的方程为,,
由,得,
由,得,
所以,
所以,①
,
因为,是线段的中点,
所以,即,化简得,
由①,得,所以,
所以,
所以离心率,
故选:B.
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.已知二项式,则()
A.展开式中的系数为45
B.展开式中二项式系数最大的项是第5项
C.展开式中各项系数之和为1
D.展开式中系数最大的项是第5项或第7项
〖答案〗AD
〖解析〗,当时,,系数为,故A正确;
由组合数性质可知,中间项系数最大,
展开式中二项式系数最大的项是第6项,故B错误;
令,得展开式中各项系数之和为,故C错误;
当为奇数时,系数为负数,当为偶数时,系数为正数,
当或时,系数最大,正确
故选:AD.
10.已知虚数满足,则下列结论正确的是()
A. B.
C.的虚部为 D.
〖答案〗ABD
〖解析〗对于A,由,得正确;
对于B,由,得,B正确;
对于C,设,
则,,解得,
的虚部为或,C错误.
对于D,又,D正确.
故选:ABD.
11.如图,正方体的棱长为1,点在截面内,且,则()
A.三棱锥的体积为 B.线段的长为
C.点的轨迹长为 D.的最大值为
〖答案〗ACD
〖解析〗对于A,在正方体中,易证平面,平面平面,且两平面间距离为,
又的面积,
所以三棱锥的体积故A正确;
对于B,如图①所示,设的中心为,则,
故B错误;
对于C,如图②所示,由知,,
点的轨迹是以为圆心,为半径的圆的一部分,
由三段劣弧构成,其长度为圆周长的一半故C正确;
对于D,,
为在方向上的投影,由图①可知,
当位于点或的位置时,最小,
此时取得最大值,如图②所示,建立空间直角坐标系,
则,,故D正确.故选:ACD.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.其中
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