椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质课件-2024-2025学年高二上数学人教A版（2019）选择性必修第一册.pptxVIP

人教A版数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程3.1.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质

自主预习新知导学

一、椭圆的简单几何性质1.椭圆的几何性质

2.(1)椭圆6x2+y2=6的长轴的端点坐标是()(2)因为a=5,所以-5≤m≤5.答案:(1)D(2)[-5,5]

二、离心率3.离心率(1)定义:椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.(2)性质:①②形象记忆:0e1,e越趋向于1越扁;e越趋向于0越圆.

2.若直线x+2y-2=0经过椭圆(ab0)的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的离心率e=.?解析:由题意知椭圆焦点在x轴上,在x+2y-2=0中,令y=0得x=2,从而得c=2;

合作探究释疑解惑

探究一由椭圆的方程研究其几何性质【例1】设椭圆mx2+4y2=4m(m4)的离心率为,试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标.分析:先将椭圆方程化为标准形式,用m表示出a,b,c,再由e=求出m的值,然后求2a,2b、焦点坐标、顶点坐标.

反思感悟用标准方程研究几何性质的步骤:(1)将椭圆方程化为标准形式;(2)确定焦点位置(焦点位置不确定的要分类讨论);(3)求出a,b,c;(4)写出椭圆的几何性质.其中长轴长、短轴长、焦距不是a,b,c,而应是2a,2b,2c.

【变式训练1】已知椭圆x2+my2=1的离心率为,求m的值及椭圆的长轴长.

探究二由椭圆的几何性质求其标准方程【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)长轴长是短轴长的5倍,且过点A(5,0);(2)离心率e=,焦距为12.分析:焦点位置不确定,分两种情况利用待定系数法求解.

反思感悟根据几何性质求椭圆标准方程的一般方法及步骤(1)基本方法:待定系数法.(2)一般步骤:

【变式训练2】已知椭圆以坐标轴为对称轴,长轴长是短轴长的3倍,并且过点P(3,0),求椭圆的标准方程.

探究三求椭圆的离心率【例3】(1)已知F1,F2是椭圆的两个焦点,过点F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,若△ABF2是正三角形,则该椭圆的离心率是.解析:不妨设椭圆的焦点在x轴上,因为AB⊥F1F2,且△ABF2为正三角形,所以在Rt△AF1F2中,∠AF2F1=30°.

本例(1)中将条件“过点F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,若△ABF2是正三角形”改为“A为y轴上一点,且AF1的中点B恰好在椭圆上,若△AF1F2为正三角形”,则椭圆的离心率是.?

解析:如图,连接BF2.因为△AF1F2为正三角形,且B为线段AF1的中点,所以F2B⊥BF1.

反思感悟求椭圆离心率的值(或取值范围)的两种方法(2)方程(不等式)法:若a,c的值不可求,则可根据条件建立关于a,b,c的关系式,借助a2=b2+c2,转化为关于a,c的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂,得到关于e的方程或不等式,即可求得e的值或范围.

【变式训练3】(1)已知椭圆(ab0)的一个焦点为F,该椭圆上有一点A,满足△OAF是等边三角形(O为坐标原点),则椭圆的离心率是()(2)已知F是椭圆的左焦点,A,B分别是其在x轴正半轴和y轴正半轴上的顶点,P是椭圆上的一点,且PF⊥x轴,OP∥AB,则椭圆的离心率是.?